В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 32

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Якщо серед заданих векторів немає жодної пари колінеарних, то,

звівши всі три вектори до спіль-С_____ч_ _ _      м   ного початку, побудуємо парале-

Тоді ом = ОТй + ОС, а,

у^^^^^^   .-' оскільки ОВВ = Хі Ь , ОС = Х2м

_ -' то С = Хі Ь +       . Це означає,

Ь в Що вектор С є лінійною комбіна-

цією векторів Ь і С. Тому і в цьому випадку вектори"1, Ь , С лінійно залежні. ►

Очевидно, що два вектори і Ь на площині лінійно неза­лежні тоді й тільки тоді, коли вони неколінеарні.

Звідси і з попереднього випливає, що максимальне число лінійно незалежних векторів на площині дорівнює двом.

Базисом на площині називаються два довільних лінійно незалежних вектори.

Згідно з теоремою, будь-який вектор С на площині можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів базису та Ь

С = Х"1 + /Л?. (14)

Числа Х і називаються координатами вектора С відносно базису С і Ь , а саму формулу (14) називають розкладом вектора С по базису і Ь .

Приклад 6. Розкласти вектор Ь = (4; —15) по базису 1 = (2;0), С2 = (0;3).

А У прикладі 5 доведено, що вектори і і 2 лінійно незалеж­ні, а отже, утворюють базис. Тоді Ь = Хіі + Х22 або (4; —15) = (2Хі;0) + (0; ЗХ2), що рівносильне рівності (4; —15) = (2Хі; ЗХ2), звід­ки випливає, що 4 = 2Хі ,    15 = 3Х2, отже, Хі = 2, Х2 = 5.

Тому

Ь = 2і 52.

Аналогічно, як і у випадку площини, доводиться, що будь-які чотири вектори у просторі лінійно залежні, а максимальне число лінійно незалежних векторів у просторі дорівнює трьом.

110

Отже, у просторі базис складається з трьох довільних ліній­но незалежних векторів.

1.6. Поділ відрізка в даному відношенні. Нехай треба відрізок М1М2 поділити у відношенні X > 0. Це означає, що треба знайти на даному відрізку точку М, для якої МіМ : ММ2 = X, або МіМ = ХММ2.

2

Нехай точки Мі і М2 мають відповідно координати Мі і; у і; гі) і М2 2; У2; ^2). /Мі Знайдемо  координати  точки  М(х; у; г).

Очевидно, що ММ = ХММ2 або -Мі хі; у і; г - гі) = (Х(х2 - ж); Х(у2 - у);

Х(г2 - г)).

Звідси випливає, що ж - хі = Х(х2 - ж), у - уі = Х(у2 - у), у, - гі = Х(г2 - г), тобто

хі + Хх2 уі + Ху2 гі + Хг2

х = -:—,   у = -:—,   г =--—. (15)

Якщо точка М є серединою відрізка М і М2, то МіМ = ММ2 і, отже, X = 1. У цьому випадку рівності (15) набудуть вигляду

хі + х2 уі + у2 гі + г2 ,.гЛ

х =-у =-г =-. (16)

2 2 2

Приклад 7. Дано точки М\(1;2), М2(3;4). Поділити відрізок М1М2 у відношєнні X = 2.

А Оскільки хі = 1, уі = 2; х2 = 3, у2 = 4, то згідно з формулами (15) маємо

1 + 2 3     5 2 + 2 4 8

1 + 2       3  у      1 + 2 3

Отже, точка М(|; |) ділить відрізок МіМ2 у відношенні X = 2.

111

1. Дано точки Л(3; -1;2) і Б(-1;2;1). Знайти координати век­торів Л~Б і Б~Л.

2. Знайти лінійну комбінацію векторів 3а + 4Ь - с, де а = (4; 1; 3), Ь = (1;2; -2), с = (10; 8; 1).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія