В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 34

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

З 1 2

7. 12. \~а \ = -, cos а = -, cos в = cos 7 = -. 13. M (-1;4;1).

> ^^^^ З

14. b = —2 j + Б k або b = —2 i Б k . 15. про^1 = 0, проу 1 =

2, прох 1 = -2. 1б. A(2;17), B(12;-1), C(-10; -7). 1Т. -^f2. 18. M(-2;l).

113

§2. Скалярний, векторний і мішаний добутки

2.1. Скалярний добуток двох векторів. Косинус кута між двома векторами. Скалярним добутком вєкторів

Tf і b називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута р між ними. Позначається скалярний добуток символом Tf b або ft b , або {ft, b ). Тому

ft1 = j-- л1) j cos р. (17)

Оскільки j b j cos р = нр-f - , j--j cos р = нр-—--, то з рівності (17) винливає, що

-if b = j--\нр-— b   або b = j b \нр—1 ft.

Звідси знаходимо, що

   та1 _.   т- -bb

нр і b =     , ,  а нр— а =

ь      |Ті'

Скалярний добуток двох векторів має властивості:

1) "tt Ь = Ь it;

2) A("tТ") = (Л"^)"^ =    (A"");

3) ("tt + Ь     = "tt1 + Ь 1;

4) якщо скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю, то дорівнює нулю або один із цих векторів, або косинус кута між ними, тобто вектори ортогональні. Навпаки, якщо нену-льові вектори "tА Ь , то cos р = 0, і, отже, скалярний добуток векторів дорівнює нулю. Тому два ненульові вектори перпен­дикулярні тоді й тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

Очевидно, що

"t~tt = l"tll'ltі cos0 = l"tll'ltі = l"tI2,

тобто

"tt2 = l"t l2. (18)

114

Приклад 1. Дано вектор = 2~ї + 36 , причому |7?| = 4, І 6 І =5. Кут у> між векторами "її і 6 дорівнює 60°. Знайти модуль вектора .

А Скориставшись рівністю (18), дістанемо

\7 І = \[~^і =\І (27? + ЗТ )2 = \/ 47?2 + 127? V + 9іГ2. Маємо, що

7 2 = \7\2 = 42 = 16,   77 2 = І--\2 = 52 = 25,

i

777 = \VІІ-7\ cosр = 4 • 5 cos600 = 4 • 5 • 2 = 1°.

Тому

\7\ = \/4 16 + 12 10 + 9 25 = л/409. ►

Запишемо скалярний добуток вєкторів через їхні координа­ти.

Нехай ~ti = і; Уі; Хі), b = (ж2; У2; Z2) або 7 = Жі і + Уі j + Хі A,    b = Ж2 г + У2 j + £2 k. Тоді

77 77 = і? + уі j + гік)(ж2і + У2 j + Z2 к) = ЖіЖ2І? + ЖіУ2і]+

і£2 гк + Уі Ж2 j ?+ УіУ2 j j+УіХ2 jk + ХіЖ2 ХіУ2 A j + A ^.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія