В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 35

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Оскільки і і = \г\2 = 1, jj = \j\2 = 1, kk = \k\2 = 1, ij =

ji = 1 1cos 2 = 0, гк = кг = 1 1cos 2 =0, jk = = 1 1 cos 2 = 0, то

7777 = ЖіЖ2 + УіУ2 + Хі Z2. (19)

Якщо скористатися (19), то отримаємо, що вектори 7 i b ортогональні тоді й тільки тоді, коли

ЖіЖ2 + УіУ2 + ХіХ2 = 0. (20)

Приклад 2. При якому значенш m вектори 7 = (2; З; 1) i b = (1; —5; m) перпендикулярш? А З умови (20) випливає, що

2 1 + З(—5) + ( —1)m = 0, 115звідки одержуємо, що m = —ІЗ.

Отже, вектори "t і b перпендикулярні, коли m = —ІЗ. З^формули (17) дістаємо, що у випадку ненульових векторів

"ft і b _^

"t b

cos p =-—.

\"f\\ b \

Якщо скористатися формулою (19), то звідси знаходимо, що

X X2 + У У2 + Z Z2

cos p = . (21)

VXl + y2 + z2V x2 + y2 + z2

Приклад 3. Обчислити косинус кута між векторами "t = (З;1; — 1) і f = (2;2;1).

А Згідно з формулою (21)

З 2 + 1 2 + ( —1) 1 Т cos p =    , к' = —== и G, ТGЗ. ►

л/З2 + 12 + (—1)V22 + 22 + 12     Зл/ГЇ '

2.2. Векторний добуток. У пункті 2.1 вивчено скаляр­ний добуток двох векторів, тобто добуток векторів результа­том якого є число. Тут ми розглянемо такий добуток векторів, коли результатом є вектор.

Три вектори "t, b в просторі R3 називатимемо впоряд­кованою трійкою або просто трійкою, якщо вказано, який з цих векторів є першим, який - другим і який - третім. Напри­клад, запис ("f, b , ) означає, що першим елементом трійки є "f, другим - b , а третім - .

Нагадаємо, що три вектори "f, b , ~~ё називаються компла-нарними, якщо вони лежать в одній площині. Впорядкована трійка некомпланарних векторів ("ft, b , ~~ё) називається пра­вою (лівою), якщо знаходячись всередині тригранного кута, що утворений цими векторами, зведеними до спільного почат­ку, ми бачимо поворот на найменший кут від "f до b і від b до , що здійснюється проти стрілки годинника (за стрілкою годинника). На рис. 1 зображено праву трійку ("f, b ,), а на рис. 2 - ліву трійку ("ft, b ,). Відзначимо, що коли вектори

116

7, Ь , є компланарними, то для них втрачає зміст поняття правої й лівої трійок.

Рис. 1

Рис. 2

Якщо дві трійки векторів є правими або лівими, то їх нази­ватимемо однаково орієнтованими. В іншому випадку нази­ватимемо ці трійки протилежно ор!єнтованими. Очевидно, що з трьох заданих векторів , Ь , можна утворити шість упорядкованих трійок:

(22) (23)

Усі трійки (22) мають ту саму орієнтацію, що трійка (її, Ь ,1), а всі трійки (23) - орієнтацію, яка є протилежною до трійки (!,11,1).

Декартова прямокутна система координат називається правою ( лівою), якщо три її базисні вектори , і , к ) утво­рюють праву (ліву) трійку. На рис. 3 зображено праву систему координат, а на рис. 4 - ліву систему координат.

Рис. 3

О

х

Рис. 4

Надалі ми розглядатимемо лише праві системи координат. Векторним добутком вектора 1 на вектор Ь називаєть­ся вектор 1 = [-ї, Ь ], який задовольняє умови:

у

117

1) довжина вектора —— дорівнює добутку довжин векторів

і Ь на синус кута а між ними, тобто

\——\ = \~-\ 8Іпа; (24)

2) вектор —— перпендикулярний до кожного з векторів — і

3) напрямок вектора — такий, що трійка векторів (—, Ь , ——) є правою (рис. 5).

" — + —

Рис. 5^ Рис. 6

Поняття векторного добутку виникло в механіці. Якщо Ь

— сила, що прикладена в точці М, а вектор = ОМ, то вектор

= і--, Ь ] є моментом сили Ь відносно точки О.

З умови 1) означення векторного добутку випливає, що для колінеарних векторів — і Ь їхній векторний добуток дорівнює нулю, бо а = 0, а отже, 8Іп а = 0. Навпаки, якщо [~—, Ь ] = 0 і принаймні один з векторів — і Ь є нульовим, то ці вектори колінеарні, оскільки нульовий вектор має невизначений напря­мок і тому його можна вважати колінеарним до будь-якого век­тора. Якщо ж обидва вектори І- і Ь ненульові, тобто І--\ > 0 і \ Ь \ > 0, то з формули (24) випливає, що 8Іп а = 0, а це означає, що вектори ~— і Ь колінеарні. Отже, необхідною і достатньою умовою колінеарности двох векторів є рівність нулю їхнього векторного добутку.

З формули (24) випливає, що довжина (модуль) векторного добутку [~—, Ь ] дорівнює площі 5 паралелограма, побудованого на векторах ~— і Ь , які зведені до спільного початку. Тому, якщо — - орт векторного добутку — = [-, Ь ], то (рис. 6)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія