В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 36

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

= [~—, —— ] = 5.

Розглянемо основні властивості векторного добутку.

118

1) . При перестановці множників векторний добуток змі­нює свій знак, зберігаючи модуль, тобто

[ - , Ь ] =   [ Ь , - ] .

< З означення векторного добутку випливає, що вектори [ - , Ь ] і [ Ь , - ] мають однакові модулі, колінеарні, але напрям­лені в протилежні боки. Тому вектори [-, Ь ] і [ Ь , -] є проти­лежними і, отже, [-—, Ь ] = о[ Ь , ].

2) . Векторний добуток має сполучну властивість відносно скалярного множника, тобто

[а——, —— ] = а[—, —— ],   а є М.

3) . Для векторного добутку правильна розподільча вла­стивість, тобто

[ + "Ь-, —— ] = [, —— ] + [——, —— ].

Доведення властивостей 2) і 3) не будемо наводити, бо воно складніше.

4) . [-, ~—\ = .

Ця властивість випливає безпосередньо з формули (24). З цих властивостей легко одержуються такі два наслідки. Наслідок 1. Для довільних векторів ~— і  Ь   та числа а Є М правильна рівність

[~—,а~— ]= а[——, —— ]. (25)

< З властивостей 1) і 2) випливає, що

[——, а——] = - 0, —— ] =   а[—, ——\ = а[~—, ~—].

Наслідок 2. Для довільних векторів ~—, Ь і —— правильна рівність

[——, —— + ] = [, —— ] + [, —— ]. (26)

< Згідно з властивостями 1) - 3) маємо

[, ——+] = о[°+, —— ] = о[—— , -—1]о[-—, 7—] = [——, ~~— ] + [, ].

119

Приклад 4. Знайти [(27? + 3 Ь ), (7? - 2 6 )]. А Маємо

[(27? + 3), (7? - 2\Ь)] = [27?, 7? ] + [37? ] - [27?, 2 ] - [з"7, 2 ] =

= -3[7, 77] - 4[7?, 77] = -7[7, 77],

оскільки [7?, 7?] =0, [ 7 , Ь ] = 0, [7?, Ь ] = -[ Ь , 77]. Нехай задано два вектори

7? = хі-7 + уі77 + гі77,    77 = Х27 + У277 + ^2~^.

Знайдемо вираз векторного добутку [і?, Ь ] через координа­ти хі, уі, г і і Х2, У2, г2. Спочатку знайдемо всі парнi векторні добутки одиничних векторів і , і , к . Оскільки векторний до­буток колінеарних векторів дорівнює нульовому вектору, то

[~7, -] = [-^ ~^] = Цк, 77]= 7. (27)

Розглянемо тепер, наприклад, добуток І7,77]. Знайдемо його модуль

її7, 77\\ = І77 \ І77 \ 8ІП2 = 1

Вектор [_7, 77] розміщений на прямій, перпендикулярній до площини векторів і та і , тобто на осі Ог. Цей вектор напрям­лений у бік додатного напрямку осі Ог, оскільки при цьому поворот від і до і вздовж найкоротшого шляху видно з кін­ця вектора [ і , і ] здійснюваний проти годинникової стрілки (рис. 3). Звідси випливає, що цей вектор збігається з вектором к , тобто

[7, 7] = 77. (28)

Очевидно, що

ПЬ 7] = -77. (29) За допомогою аналогічних міркувань переконуємося, що

[-7і , -7к ] = -7і ,  [-7к , -7і ] = --7і ,  [-7к , -7і ] = -7і ,  [-7і , -7к ] = --7і .

7 (30) Розглянемо тепер добуток [7?, Ь ].

120

Використовуючи властивості векторного добутку і рівності (27) - (30), дістанемо

[її, у] = \(хі + ул + гі~к;), 2 + У2~3 + %2~кі)] =

= ХіХ2[Т, 1 ] + УіХ2[У, ~і} + ггХ2[~^, 1 ] + Хі У2 , У] +

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія