В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 38

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

А 1). Якщо ~їІ = 0 , то згідно з означенням векторного добутку тІ = Ъ = тт = 0 , а тому вектори тІ, Ъ і —т є компланарними.

2). Якщо ж тІ = тт, то зведемо всі вектори до спільного початку О. Вектори тІ, Ъ , перпендикулярні до вектора тгІ, що випливає з умови 2) означення векторного добутку. Тому вони лежать в пло­щині, яка проходить через точку О, перпендикулярно до вектора тІ . Отже, вектори , Ъ і т компланарні й в цьому випадку.

Приклад 8. Знайти координати векторного добутку [2тТ + тт, тт], якщо -О* = (3; —1; —2), т = (1; 2; —1).

А Знайдемо спочатку координати вектора 2тТ + Ъ . Маємо

2-І + т

22(3; —1; —2) + (1;2; —1) = (7;0; —5).

Тоді

 

 

 

 

к

[2тТ + Ъ , Ъ ] =

7

0—

-5

 

 

1

2—

-1

 

7 —5

 

70

 

3

1 —1

+ к

12

 

або

10 і +2 3 +14 к [2ТТ + Т,Т] = (10;2;14).

Приклад 9. Вектор , перпендикулярний до векторів ТТ = (4; —2; —3) і Ъ = (0;1;3), утворює з віссю Оу тупий кут. Знайти координати вектора , якщо \'т\ = 26.

А Оскільки вектор т перпендикулярний до векторів ТТ і Ъ , то він перпендикулярний і до площини, утвореної цими векторами.

122

Векторний добуток [7?, Ь ], згідно з означенням, так само перпен­дикулярний до цієї площини, а тому вектори 7 і [7?, Ь ] колінеарні, тобто 7? = А[7, Ь ], де А - деякий коефіцієнт.

Очевидно, що

[7?, 6 ]

4 -2 0 1 3 і - 12 З +47,

а тому

7, Ь

л/(-3)2 + (-12)2 +42 = 13.

З рівності 7 = А[7, 6) ] випливає, що 71 = |А| \\~ct, Ь ]|, тобто 26 = |А| 13 або |А| = 2. Отже, Аі = 2, а А2 = -2. Тому маємо два вектори 71 = 2(-3;-12; 4) = (-6; -24; 8) і 72 = -2(-3; -12; 4) = (6; 24; -8). Згідно з умовою вектор 7 утворює з віссю Оу тупий кут, а тому 777 < 0. Оскільки 7177 = -6 0 - 24 1 + 8 0 = -24 < 0, то шуканим вектором є 7 = 71 = (-6; -24; 8).

Приклад 10. Вершини трикутника знаходяться в точках А(1; -1; 2), В(5; -6; 2) і С(1; 3; -1). Знайти довжину висоти, опуще­ної з вершини В на сторону АС.

А Розглянемо вектори АВ = (4; -5;0) і -С = (0;4; -3). Їхній векторний добуток

А7,-7 ]

З к

-5 0 43 15 і + 12 З + 16 к

Оскільки модуль векторного добутку дорівнює площі паралело­грама, побудованого на векторах АВ і -С, то площа трикутника

1 ^и-71,

АВС Б^абс боку, Б&АБС

З іншого

2 |

а тому

І-7!

2АБС |-71

9 25

Л ' 2

25

л/02 +42 + (-3)2 5

5.

Отже, висота дорівнює 5. ►

Приклад 11. Сила 77 = (3;2; —4) прикладена до точки М(2; 1; 1). Знайти момент цієї сили відносно початку координат О(0; 0;0).

123

А Відомо, що моментом сили ~7 відносно початку координат є векторний добуток

[О7, 7]

 

-7і

-7З

77

 

=

2

-1

1

=

 

3

2

-4

 

1

4

 

2

1

і-З

3

-4

2 і +11.7' + 7 кг .

2.3. Мішаний добуток трьох векторів. Нехай зада­но впорядковану трійку векторів (7, Ь ,7). Знайдемо спо­чатку векторний добуток [7, Ь ], а потім скалярний добуток цього вектора на вектор 7, тобто [7, Ь ]7. Одержане число [7, Ь ]7 називається м!шаним добутком векторів 7, Ь і 7.

Розглянемо геометричний зміст мішаного добутку векторів.

Теорема. Мішаний добуток [7, Ь ]7 дорівнює об'єму па­ралелепіпеда, побудованого на зведених до спільного початку векторах І7, Ь , І7, взятому із знаком плюс, якщо трійка (7?, Ь ,77) права, і зі знаком мінус, якщо трійка (77, Ь ,77) ліва. Якщо ж вектори 7, Ь і 7 компланарні, то [7, Ь ]7 дорівнює нулю.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія