В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 39

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

А Якщо вектори 7 і Ь колінеарні, то в цьому випадку вектори 7, Ь і 7 компланарні, оскільки серед трьох неком-планарних векторів не можу бути двох колінеарних векторів. Для двох колінеарних векторів 7 і Ь векторний добуток [7, Ь ] = 0, тому і мішаний добуток [7, Ь ]7 дорівнює нулю.

Залишилося розглянути випадок, коли вектори 77 і Ь не колінеарні. Позначимо через 5 площу паралелограма, побудо­ваного на зведених до спільного початку векторах 77 і Ь , а через 7 - орт векторного добутку [7, Ь ].

У попередньому пункті доведена формула [7, Ь ] = Б77. За допомогою цієї формули і властивості скалярного добутку одержуємо, що

[7, 7]7 = (Б7)7 = Б(77) = Б7|пр--77 = Бпр--77. (32)

124

Спочатку припустимо, що вектори 7, Ь і 7? не компла-нарні. Тоді пр-—7 з точністю до знака дорівнює висоті Н па-

ралелепіпеда, побудованого на зведених до спільного початку векторах 7,  Ь і 7

побудований на векторах 7 і Ь (рис. 7).

за умови, що основою є паралелограм,

А с

і-

^ Ь

Отже, з точністю до зна-г   ,'       ка, права частина (32) дорів-' нює об'єму V, побудованого

' на векторах 7, Ь і 7 пара-

лелепіпеда. Залишилося ви­яснити знак. = +Н, якщо вектори 7 і 7 лежать по один бік від площини, яка визначається векторами 7 і Ь ,

Рис. 7

Очевидно, що пр-

і пр-Є 7

-Н, якщо вектори 77 і 7 лежать по різні боки від

вказаної площини. Це означає, що пр­+Н, якщо трійки

(7, Ь ,7) і (7, Ь ,7) однаково орієнтовані, і пр-

Н,

якщо вказані трійки протилежної орієнтації. Оскільки трійка (7, Ь , 7) є правою, то

+Н,

Н,

якщо (7, Ь якщо 7Ь

Якщо підставити це значення пр-— ності (32), то дістанемо,

[7, 7]7 = ±БН   або   7, ) - права трійка, ) - ліва трійка.

7с у праву частину рів-

що й треба було довести.

Якщо ж вектори 7, Ь і 7 компланарні, то вектор 7 ле­жить в площині, що визначається векторами 7 і Ь . Звідси вип­ливає, що пр-—7 = 0, і згідно з формулою (32) [7, Ь ]7 = 0. Отже, теорема доведена.

Наслідок 1. Для мішаного добутку правильна рівність

[7, 77 = 7[7, 7].

А З переставної властивості скалярного добутку випливає, що 7[ Ь , 7] = [ Ь , 7]7. Тому досить довести правильність

125рівності [~7, Ь ]~С~ = [ Ь , 7?]~7. З точністю до знака ця рівність має місце, оскільки з точністю до знака кожна частина цієї рівності дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на век­торах ТІ, Ь і 7, які зведені до спільного початку. Знаки обох частин цієї рівності так само однакові, бо трійки (~7, Ь , 77) і ( Ь, 7, ) мають однакову орієнтацію (див. (22)). Проведені вище міркування правильні, коли вектори 7, Ь , 7 некомпла-нарні. У випадку компланарності цих векторів [~7, Ь ]7 = 0 і 7 [ Ь , 77 ] = 0, а тому І, І)]77 = 7 [ Ь , 77 ].

Доведена рівність [~7, Ь ]7 = 7[ Ь , 7] дозволяє записува­ти мішаний добуток трьох векторів 7, Ь і 7 просто у вигляді 7 Ь 77, не вказуючи при цьому, які саме два вектори перемно­жуються векторно, тобто

7 Ь 7 = [7, Ь ]7 = 7 , 7].

Наслідок 2. Вектори 7, Ь і 77 компланарні тоді й тіль­ки тоді, коли їхній мішаний добуток ТІ Ь 77 =0.

<\ Справді, якщо вектори 77, Ь і 77 компланарні, то згідно з теоремою ТІ Ь 77 = 0.

Якщо ж мішаний добуток 7 Ь 77 = 0, а вектори не компла­нарні, то одержимо суперечність. Це випливає з того, що згідно з теоремою 77 Ь 77 дорівнює з точністю до знака об'єму парале­лепіпеда, побудованого на цих векторах, тобто 7 Ь 77 = ±У = 0. Звідси випливає, що вектори 7, Ь і 7 компланарні. ►

Знайдемо вираз для мішаного добутку через координати векторів, що перемножуються. Нехай 7 = (х\\у\] Ь = (х2; у2; %2) і 7 = (х3; уз; г3). Тоді, згідно з формулою (31), має­мо

і і к хі   уі хх

Х2    У2 ^2

+

Х2 У2

 

уі

 

і -

хі

 

 

у2

 

і

х2

 

хі

у1

7к .

 

 

 

і +

126

Оскільки 7? = Жз і + уз і + гз к , то скориставшись форму­лою (19) для скалярного добутку, одержимо

7-7 7 = а, Ь ]

 

у1

 

 

Ж1

гі

Уз +

Ж1

уі

=

 

 

Жз -

 

 

 

 

 

 

у2

г2

 

Ж2

г2

 

Ж2

у2

Легко бачити, що отриманий вираз є розкладом визначника Жі   уі хх

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія