В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 4

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

2. Знайти всі підмножини множини: а) A = {0,1}; б) A = {0,1, 2, 3}.

3. Нехай A = {2, 3}. Скільки елементів має множина: а) A х A; б) A х A х A.

4. Нехай A = {x Є R : \x 1| < 1}, B = {x Є R : \x\ < 1}. Знайти і зобразити такі множини: а) A П B;   б) A х B.

5. В їдальні є 3 перші страви, 5 других і 2 треті страви. Скількома способами можна скласти з них обід?

13

6. У розиграші першості країни з футболу беруть участь 16 ко­манд. Скількома способами можуть бути розподілені золота і срібна медалі?

7. Для визначення швидкості росту бактерій треба вибрати 4 штами бактерій з наявних восьми. Скількома способами це можна зробити?

8. Збори з 80 осіб обирають голову, секретаря і трьох членів ревізійної комісії. Скількома способами це можна зробити?

9. Вісім студентів подорожували у двох човнах, у меншому з яких могло вміститися не більше 4 осіб, а в більшому - не більше 6 осіб. Скількома способами вони можуть розміститися у цих човнах?

10. Скількома способами можна 15 шахістів поділити на три ко­манди по 5 чоловік?

11. На вечірці присутні 12 дівчат і 15 юнаків. Скількома спосо­бами можна вибрати з них 4 пари для танців?

12. Число перестановок з п літер відноситься до числа переста­новок з п + 2 літер, як 0,1 до 3. Знайти п.

Відповіді

2. а) 0, {0}, {1}, А; б) 0, {0}, {1}, {2}, {3}, {0,1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0,1, 2}, {0,1, 3}, {0, 2, 3}, {1, 2, 3}, А. 3. а) 4; б) 8. 4. а) Є М : 0 < х < 1}; б) {(х,у) Є М2: 0 < х < 2,-1 < у < 1}. 5. 30. 6. 16-15 = 240. 7. С8 = 70. 8. А\0С^8 = ^5. 9. С2+С|+С| = 154. 10. С5- СО. 11. АІАІ,. 12. п = 4.

14

§2. Дійсні числа. Координати точки на прямій, площині та в просторі

2.1. Поняття дійсного числа. Нагадаємо основні відо­мості про дійсні числа.

Множина дійсних чисел М складається з усіх раціональних та ірраціональних чисел. Раціональним числом називаєть­ся число, яке можна подати у вигляді звичайного дробу у, де т Є Ъ, п Є N. Зокрема, будь-яке ціле число т зображаєть­ся у вигляді у, і тому є раціональним. Усі раціональні числа складають множину раціональних чисел 0>. Дійсні числа, які не входять у цю множину, тобто їх не можна подати у вигляді у, де т Є Ъ, п Є N називаються ірраціональними.

Як відомо, кожне дійсне число зображається у вигляді нескінченного десяткового дробу аоіа,2 ...ап ..де ао Є Ъ, Ок Є {0,1, 2,..., 9}, к Є N. При цьому раціональне число зобра­жується у вигляді скінченного чи нескінченного періодичного десяткового дробу. Наприклад, 15 = 15 = 15, 0; ^1 = 0, 75; | = 0, 333... = 0, (3). Кожне ірраціональне число зображується у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу. На­приклад, \[2 = 1, 414..., п = 3,14159..., е = 2, 718.... Тому най­частіше в арифметичних діях ірраціональні числа заокруглю­ють, тобто замінюють на наближене раціональне з потрібною точністю. Наприклад, п ~ 3,14159 ~ 3,1416 ~ 3,142 ~ 3,14. При заокругленні ірраціонального числа залишають всі до п 1 цифри дробової частини без змін, а п-у цифру збільшують на 1, якщо після неї стоїть одна із цифр 5, 6, 7, 8 або 9, а якщо одна із цифр 0, 1, 2, 3, 4, то п-у цифру залишають без зміни. При цьому помилка (або похибка) обчислень не перевищить величини .

2.2. Геометричне зображення дійсного числа. Координати точки на прямій. Числовою віссю нази­вається пряма, на якій вибрані початкова точка (початок), до­датний напрямок (відмічений на рисунку стрілкою) і відрізок, довжина якого дорівнює одиниці (одиниця масштабу).

15

<5~нр      *х

Напрямок, протилежний до вибраного напрямку числової осі, називається від'ємним. Якщо дійсне число х > 0, то йому відповідає точка числової осі, яка знаходиться від початку на відстані х у додатному напрямку. Якщо ж х < 0, то точка числової осі, яка йому відповідає, лежить на тій самій відстані, але у від'ємному напрямку від початку. Число 0 є початком числової осі.

Дійсне число х називається координатою точки М чис­лової осі, яка його зображує. Домовимось писати М(х) у то­му випадку, коли х є координатою точки М. Доводиться, що кожному дійсному числу х відповідає єдина точка М числової осі, і, навпаки, кожній точці М цієї осі відповідає єдине дійсне число х - координата цієї точки. Кажуть, що між множиною дійсних чисел М і множиною точок числової осі існує взаємно однозначна відповідність, тобто ці множини еквівалентні. То­му надалі замість слова "число х" часто використовуватимемо слово "точка х".

Множина дійсних чисел є впорядкованою. Це означає, що довільні різні дійсні числа хі і х2 задовольняють тільки одну з двох нерівностей хі > х2 або хі < х2.

Зауважимо, що множина дійсних чисел є щільною, тобто має властивість: між двома різними дійсними числами зна­ходиться безліч інших дійсних чисел. Це означає, що коли хі < х2, то існує х для якого хі < х < х2 і таких х є нескін­ченно багато. Так само щільними є множини раціональних та ірраціональних чисел у множині дійсних чисел.

2.3. Абсолютна величина дійсного числа. Відстань між двома точками на прямій. Окіл точки. Абсолютною величиною (модулем) дійсного числа х називається саме це число, коли воно невід'ємне, і протилежне число х, коли воно від'ємне. Позначаєть­ся абсолютна величина дійсного числа символом |х|. Отже,

, і     Г    х, якщо х > 0, ІхІ = {

І  —х, якщо х < 0.

16

Згідно з означенням \х\ > 0 і \х\ = \ — х\. Розглянемо основні властивості модуля:

1) — \х\ < х < \х\,   х Є М;

2) нехай а > 0, тоді нерівності \х\ < а і —а < х < а рівно­сильні;

3) для довільних дійсних чисел хі і

і + х2 \ < \хі \ + \х2 \,

\ х1 — х2 \ >\ \ х1 \ — \ х2 \ \, \ х1 х2 \ = \ х1 \ \ х2 \,

\х2\,    х2 = 0.

Геометричний зміст модуля х - це відстань точки М (х) чис­лової осі від початку.

Абсолютна величина різниці двох чисел \х — а\ означає від­стань між точками х і а числової прямої як для випадку х < а, так і х > а (див. рисунки).

х  — а х  — а

х < а ^^-^^_^ х > а ^^-^^_^

а а

Тому, наприклад, розв'язками нерівності \х — а\ < є, де є > 0, будуть всі точки інтервалу (а — є; а + є).

----- х

а — є   а   а + є

Довільний інтервал, який містить точку а, називається околом точки а. Інтервал вигляду (а — є; а + є) називається є-околом точки а.

Приклад 1. Спростити вираз \ х — 2 \ х \ \ .

Нехай х > 0, тоді \х\ = х, і отже, \х — 2\х\ \ = \х — 2х\ = \ — х\ = \х\ = х. Якщо х < 0, то \х\ = —х, а тому \х — 2\х\ \ = \х + 2х\ = \3х\ = \3 \ \х\ = —3х. Отже,

і      „їм     Г      х,   якщо х > 0, \ х — 2 \ х \ \ = < '       ^     -   ' ►

І   —3х,   якщо х < 0.

17

Приклад 2. Знайти відстань між точками М\{— 0, 5) і М2(3, 5). < Маємо й = |3, 5 (—0, 5)| = |3, 5 + 0, 5| = |4| =4.

2.4. Координати точки на площині та в просторі.

У попередньому пункті ми відзначили, що положення точки на числовій прямій визначається одним числом - координатою цієї точки. Положення точки на площині визначається уже двома числами, а в просторі - трьома.

Розглянемо на площині дві взаємно перпендикулярні чис­лові осі Ох і Оу, які мають спільний початок О, який збігається з точкою перетину осей, і спільну одиницю масштабу. Вісь Ох називається віссю абсцис, а вісь Оу - віссю ординат.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія