В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 40

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

%2   У2   22 | за елементами третього рядка. Отже, Жз   Уз г3

та 77

Ж1 у1 г1 Ж2 у2 г2 Жз уз гз

(33)

Якщо скористатися формулою (33), то наслідок 2 можна сформулювати так: вектори = і; уі; Ь = 2; У2; 22) і = з; уз; гз) компланарні тоді й тільки тоді, коли

Ж1 у1 г1 Ж2 у2 г2 Жз уз гз

0­(34)

Приклад 12. Визначити орієнтацію трійки векторів (7, Ь ,77), якщо 7 = і + і , Ь = і і , 77 = к .

А Згідно з теоремою, якщо мішаний добуток 7 Ь-- > 0, то трій­ка (і7, Ь ,77) є правою, а коли 7 Ь 77 < 0, то - лівою. Якщо ж І7 Ь 7 = 0, то вектори 7, Ь і І? компланарні, а тому для них від­сутнє поняття орієнтації трійки (7, Ь , 7). Тому обчислимо мішаний добуток 7 Ь 77.

Подамо вектори 7, Ь і 77 за допомогою їхніх координат:

а = і + і 77 = 77 7-

= (1;0;0) + (0;1;0) = (1;1;0),

(1;0;0) (0; 1;0) = (1; —1;0), 77 = 77 = (0;0; 1). Згідно з формулою (33)

7 І)'

110 1 —1 0 001

1 ( —1)3+1

1

1

-2 < 0.

с =

127

Звідси випливає, що трійка (7, Ь , 7) є лівою.

Приклад 13. Вектор 7 перпендикулярний до векторів 7 і Ь , кут між якими дорівнює 30°. Обчислити 77 Ь 77, якщо 7\ = 6, І--\ = 3 і 7\ = 3.

А Згідно з геометричним змістом мішаного добутку 7 Ь 77 = ±У, де V - об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах 17, Ь і 7, зведених до спільного початку. Знайдемо об'єм V, вважаючи, що основою паралелепіпеда є паралелограм, побудований на векторах 17 і Ь . Тоді вектор 77 перпендикулярний до площини цього парале­лограма, бо 7 А 7 і 7 А Ь , а тому 7\ - висота паралелепіпеда.

Маємо, що площа 5 паралелограма дорівнює

S

b І sin 30o

бЗ

1

2

9 (кв. од.).

Тоді

V = S І~

2Т (куб. од.).

Отже, C b = ±2Т, причому "t b17 = 2Т, якщо трійка ("t, b , "t) права і "t b "t = 2Т, якщо ця трійка ліва.

Приклад 14. Довести, що чотири точки A(1; 2; -1), B(0; 1; Б), C(-1; 2; 1) і D(2; 1; З) лежать в одній площині.

А Точки A, B, C і D лежать в одній площині тоді й тільки тоді, коли вектори A"B = (-1;-1;б), AC = (-2;0;2) і AD = (1;-1;4) ком-планарні. Умовою компланарності є виконання рівності (34). Оскіль-

-1   -1 б

-2 0 2 1    -1 4 0 + 12 - 2 - 0 - В - 2 = 0,

то ця умова виконується, а тому задані чотири точки лежать в одній площині.

Приклад 15. Точки А(2; 3; 1), В(4; 1; —2), С(6; 3; 7) і В(— 5; —4; 8) є вершинами трикутної піраміди. Знайти довжину висоти цієї піра­міди, яка опущена з вершини В на основу.

А Розглянемо вектори А- = (2; —2; 3), ——С = (4;0;6) і АВ = (—7; —7; 7). Об'єм V паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, дорівнює модулю їхнього мішаного добутку, тобто V = \[А7В,Ад]А—іЗ\. Оскільки

[aB,aC ]AD

2 -2 -З 4   0 б

—Т   —Т Т 0 + 84 + 84 - 0 + Б4 + 84 = 30В,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія