В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 43

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

34. Довести, що с b с| < сЦ b Ц~С^ У якому випадку мож­ливий знак рівності?

131

35. Довести тотожність (7? + Ь )( Ь + 7?)(7? + 7?) = 27? 6 7?.

36. Довести, що для довільних векторів ~7, Ь і 77 вектори 7 Ь , Ь —7 і 77 — 7 компланарні.

37. Визначити чи є компланарними вектори 77, Ь і 77, якщо: 1) 77 = (2;3; —1), 7 = (1; —1;3), 7 = (1;9; —11); 2) 7 = (3; 2; 1), 77 = (2;1;2), 7 = (3; 1; —2); 3) 7 = (2; —1;2), 77 = (1;2; 3), 7 = (3; —4; 7)?

38. Обчислити об'єм трикутної піраміди, вершини якої знахо­дяться в точках: 1) А(2; 1; 1), £(5; 5; 4), С(3;2; 1) і В(4;1;3); 2) А(2; —3; 5), В(0; 2; 1), С(—2; —2; 3) і В(3; 2; 4).

39. Обчислити об'єм трикутної піраміди ОЛВС, якщо + 47, ОВ = 37 + 77, ОХС = 27 + 57.

40. У трикутній піраміді з вершинами у точках 1; 1), В(2;0;2), С(2; 2; 2) і В(3;4; 3) визначити довжину висоти, прове­деної з вершини В.

Відповіді

І. а =  -6. 2. -524. З. cos р у —, р = arccos у —. 4.

2 r cos р 4 7г

а = arccos-. 5. arccos   , .  6. 4. 7. р = arccos-. В. р = .

7 л/r2 + h2 9      Y 2

9. l) л/3; 2) Зл/3; З) 10л/3. І0. l) 2{7 ); 2) 2[7, 7}; З) [7, 7}; 4) З. ІІ. 50//2. І2. l) 1 ["^, 7}; 2) -5[7, --}. ІЗ. l5. І4. ±30. І5. 60. І6. l) З; 2) 27; З) З00. І9. l) {5; 1; Т); 2) {20; 4; 28). 20. l) {6; -4; -6);

2) {-12; 8; 12). 2І. {10; 13; 19). 22. sin а = -~2—. 2З. l4 (кв. од). 24. {45; 24; 0). 25. {Т; 5; 1). 26. {-Т; 14; -Т); {10; 13; 19). 27. 2л/2 (кв. од).

28. 7 = ( - !;0;2), 7 = ( - 1;2; - і). 29. {-4;3;4). З0. l5;

2 2 11

cos а = —, cos в = т~, cos 7 = -—. ЗІ. l) Права; 2) ліва; З) ліва;

3 15 15

4) права. З2. -Т; l) ліва; 2) права; З) права. ЗЗ. 24. З4. У випадку,

коли вектори 7, b , 77 взаємно перпендикулярні. З7. l) Компланар­ні; 2) не компланарні; З) компланарні. ЗВ. l) З (куб. од.); 2) б (куб.

од.). З9. у (куб. од.). 40. Зл/2 (од.).

132

§3. Поняття гг-вимірного евклідового простору

У попередніх пунктах було доведено, що вектор у просторі визначається трійкою чисел - його координатами = і; х2; х3), а на площині - двома числами її = і; х2). Тому у просторі вектор називають тривимірним, а на площині - двовимірним.

Поняття п-вимірного вектора вводиться аналогічно.

Упорядкована система п дійсних чисел хі, Х2, хп нази­вається п-вимірним вектором і позначається символом = і; х2;хп). Числа хі, х2, хп називаються координатами век­тора.

Вектор, у якого всі координати дорівнюють нулю, називається нуль-вектором або нулем 0 = (0;0; ...;0).

Вектор (—хі; —х2;—хп) називається протилежним до векто­ра = і; х2;хп) і позначається символом —~ї.

Два вектори = і; х2;хп) і Ь = і; У2;уп) називаються рівними = Ь , якщо їхні відповідні координати однакові, тобто хі = Уі, і Є {1, ...,п}.

Сумою (різницєю) двох векторів = і; х2;хп) і Ь = і; у2;Уп) називається вектор ± Ь = і±уі; х2±У2;, ...,хГІ±Уп).

Добутком вектора = і; х2;хп) на число А називається вектор А~ї = (Ахі; Ах 2;Ахп).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія