В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 44

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Лінійні операції над п-вимірними векторами мають ті самі вла­стивості, що й лінійні операції над векторами у тривимірному про­сторі та на площині.

Множина всіх п-вимірних векторів, для яких введено операції додавання й множення на число, називається арифметичним век­торним простором і позначається символом Мп.

Означення лінійної залежності і незалежності векторів, лінійної комбінації векторів на площині і в просторі переносяться без змін і на арифметичний простір Мп.

Максимальне число лінійно незалежних векторів у Мп дорівнює

п.

Базисом векторного простору Мп називають будь-яку сукуп­ність п лінійно незалежних векторів цього простору. Базис із век­торів її і = (1;0;0), її 2 = (0;1;0), її п = (0; 0;1) назива­ють одиничним.

Скалярним добутком векторів = і; х2;хп) і Ь = ( Уі ; У2 ; ... ; Уп) називається число

її = хіуі + х2У2 + ... + хпУп. (22)

133

Означений таким чином скалярний добуток володіє всіма вла­стивостями скалярного добутку на площині і в просторі.

Якщо в n-вимірному просторі введено скалярний добуток, то йо­го називають п-вимірним евклідовим простором і позначають символом Rn.

Очевидно, що

I~ctІ = V~ct2 = а/~ct ~?     або   l"tІ = \Jx2 + x2 + ■■■ + x"n. Для знаходження кута р між ненульовими векторами "t і Ь користуються формулою

~ct Ъ

COS р = -=;r

І"11" І

або

Xiyi + X2y2 + ■■ + Xnyn

cos р =      2      2 2 =

^jx2 + x2 +    +      y2 + y2 +    + yn

Для векторів i, 2,     n

аj = { °\   г = j.

Базис i, 2,...,"Єn називають також одиничним ортонормо-ваним базисом.

Розглянемо n-вимірний евклідів простір Rn з ортонормованим базисом i, 2,...,""n. Нехай дано вектор ~ct = (xi; X2; xn), де xi, x2 , ... , xn - координати вектора у даному базисі. Як і у випадку три­вимірного простору, поставимо у відповідність кожному вектору "t простору Rn точку M, під якою розумітимемо набір чисел xi, X2, xn. Ці числа називають прямокутними декартовими коорди­натами точки M і записують M (xi; X2; xn). Точку O(0;0; ■■■;0) називають початком координат. Сукупність початку координат O і векторів базису "( i , "( 2 ,... , "( n називають декартовою прямо­кутною системою координат в n-вимірному просторі.

Під вектором A-"B, який з'єднує точки A(xi; x2; ■■■; xn) і B(yi; У2; yn) як і у випадку тривимірного простору розумітимемо вектор AB = (yi - xi; У2 - X2; yn - xn). При цьому точку A назива­тимемо початком, а точку B - кінцем вектора AB. Якщо початок вектора збігається з початком координат O(0;0; ■■■;0), а кінець - із точкою M(xi; x2; ■■■; xn), то вектор O--M" = (xi; x2; ■■■; xn) називають радіус-вектором точки M. Його координати збігаються з коорди­натами точки M.

134

Відстанню між двома точками А і В назвемо модуль вектора

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія