В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 45

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

ав, а саме

\А~В\ = л/(уі - и)2 + (у2 -       + ... + (у» - і»)2.

Приклад 1. З'ясувати, чи вектори 1?і = (1; 3; 1; 3), 12 = (2; 1; 1; 2) і її з = (3; —1; 1; 1) лінійно залежні.

А Складемо векторну рівність Аіі + А2~сї2 + Аз~сїз = 0 або Лі(1; 3; 1; 3) + А2(2; 1; 1; 2) + А3(3; 1; 1; 1) = 11. Ця рівність рівно­сильна системі рівнянь

Аі + 2А2 + 3Аз = 0, 3Аі + А2 Аз = 0, Аі + А2 + Аз = 0, 3Аі + 2А2 + Аз = 0.

Розв'язуючи одержану систему методом Жордана-Гаусса, зведе­мо її до вигляду

ґ Аі + 2А2 +3Аз = 0, \ А2 + 2Аз = 0.

звідки знайдемо всі її розв'язки Аі = с, А2 = —2с, А3 = с, с Є К.

Отже, для даних векторів їхня лінійна комбінація дорівнює ну­лю при довільних ненульових Аі, А2 і Аз, а це означає, що вектори лінійно залежні.

Приклад 2. Знайти скалярний добуток векторів = (3;1; 2;3;0) і 11 = (0; 2; 4;3; 1).

А Згідно з (22) маємо

111 = 3 0+1 2 + (2)(—4) +3 3 + 0( 1) = 2 + 8 + 9= 19.

Розглянемо економічний приклад на ортогональність векторів.

Приклад 3. Нехай 11 = (</і; </2;...; Як) - вектор спожитих то­варів, 1 = (сі; С2;...; ск) - вектор цін у даному місяці, ~сї п = (сі»; с2»;...; ск») - вектор цін у попередньому місяці. Знайти фор­мулу для визначення індексу цін та індексу інфляції.

А Очевидно, що індекс цін

р = т1?1^ 100%. с пЯ

Якщо перетворити цю формулу, то одержимо, що

100(~с11 )= р(~с п~1)   або   (100"1 р1 п )~1 = 0.

Звідси випливає, що індекс цін можна визначити як числовий коефі­цієнт р, що робить вектор її ортогональним до вектора 100"1 р1 п.

135

Індекс інфляції розраховується за формулою

і = р - юо = у;--\- юо - юо

С п Ч

або

Вправи

1. Знайти сумарні затрати робочого часу Т і вартість Р виробле­ної продукції, якщо відомі вектори: асортименту д = (20; 40; 60; 10), затрат робочого часу і = (5; 10; 7; 12) і цін р = (30; 15; 40; 20).

2. Для векторів ї = (2; 4; 3;0) і 6 = ( — 1; 2; 2; —5) знайти їхні довжини і кут між ними.

3. Довести, що вектори її і = (7; 1; 3; —2), її 2 = (0; —1; 2; 0), її з = (0; 0; 0; —2; 6), її4 = (0; 0; 0; 1) утворюють базис в просторі М4.

4. З'ясувати, чи вектори ~сїі = ( — 1; 3; 3; 2; 5), ~сї2 = (—3; 5; 2; 3; 4), 1 з = (—3; 1; —5; 0; 7), 14 = (—5; 7; 1; 4; 1) лінійно залежні.

5. Знайти лінійну комбінацію векторів сї = ("її І) )—С 3("ї)"ї+ 3("11)"-, де 1 = (4; 1; 3; —2), 11 = (1; 2; —2; 3), 1 = (10; 8; 1; —3).

Відповіді

1. Т = 1040, Р = 3000. 2. \ї\ = л/29; \Ь\ = л/34; 92 = 2. 4. Лінійно залежні. 5. 11 = (—699; —129; —609;495).

136

Розділ 4. Аналітична геометрія

§1. Лінії, поверхні та їхні рівняння

В аналітичній геометрії об'єкти (точки, лінії, поверхні) та їхнє розміщення на площині або в просторі визначаються аналітично, тобто за допомогою методів алгебри. Робиться це з використанням декартового методу координат. При цьому геометричні об'єкти за допомогою формул описуються рівняннями або нерівностями, які зв'язують між собою координати кожної точки даного об'єкта.

Рівнянням, яке відповідає заданій множині точок на площині або в просторі, називають рівність, яку задовольняють координати будь-якої точки цієї множини і не задовольняють координати точок, що не належать даній множині.

Приклад 1. Знайти рівняння множини точок площини, рівно-віддалених від точок М1(—4; 2) і М2(—2; —6).

< Відомо, що відстань між точками Мі і; у і) і М2(х2; У2) визна­чається за формулою

ї(Мі2) = л/(х2 Хі)2 + (У2 Уі)2.

Нехай М(х; у) - довільна точка шуканої лінії. Тоді згідно з умовою

ММі = ММ2, тобто

л/(х + 4)2 + (у 2)2 = л/(х + 2)2 + (у + 6)2.

Якщо піднести обидві частини до квадрата, то після перетворень одержимо

5

х 4у 5 = 0    або    у = х--.

Очевидно, що це рівняння прямої, яка є серединним перпендикуля­ром відрізка Мі М2.

Перевіримо, що кожна точка прямої у = 4 х | рівновіддале-на від точок Мі(— 4; 2) і М2(—2; —6). Справді, нехай М(х; | 5) -довільна точка на цій прямій. Тоді

МіМ =л/(—4 х)2 + (2 х + 4)2 + 4)2 + (143 х)2 =

=   /17х2     х    425; V   16  +       + Т6;

137

М2М = ^(-2 - я)2 + (-6 - І + |)2 _ л/(2 + я)2 +      + |)2 = _   /і7я2      425

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія