В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 46

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

V 16 + ~8~ + 16'

Отже, МіМ _ М2М. Тому рівняння заданої множини є у _

Приклад 2. Вивести рівняння множини точок, що знаходяться на відстані Я від точки Моо; уо; 20).

А Візьмемо довільну точку М(я; у; г) даної множини. Згідно з умовою

<М,М0) _ Я

або _

у/ - яо)2 + - Уо)2 + - 2о)2 _ Я'

Якщо піднести до квадрата, то одержимо рівняння

- яо)2 + - уо)2 + - го)2 _ Я2,

яке називають рівнянням сфери з центром у точці Моо; уо; го) і радіусом Я. Навпаки, якщо координати (я; у; г) точки задовольня­ють одержане рівняння, то ця точка знаходиться на відстані Я від точки Мо.

Якщо центр сфери збігається з початком координат, то рівняння сфери набуде вигляду

я2 + у2 + г2 _ Я2'

Доводиться, що якщо рівняння

Я(я,у,г) _ °

визначає деякий геометричний об'єкт, то цей об'єкт є поверхнею в просторі. Наприклад, рівняння я2 + у2 + г2 _ -1 не визначає жод­ного реального геометричного образу, бо ліва частина не може бути від'ємною, а рівняння я2 + у2 + г2 _ 0 визначає точку (0; 0; 0). Аналогічно рівняння

Я (я,у)_0,

якщо воно має зміст, визначає деяку лінію на площині.

Для того щоб переконатися, чи лежить точка М(яо; уо) на даній лінії, треба перевірити, чи задовольняють її координати рівняння, яким задана лінія.

138

У прикладі 1 для заданої відповідними властивостями множини точок знайдено її рівняння. Розглянемо тепер задачу, коли за відо­мим рівнянням треба знайти множину точок.

Приклад 3. Визначити, яку множину точок описує рівняння \ж\ + \у\ = 1.

А Оскільки \а\ = \ —а\, а Є К, то разом із точкою о; уо) до шука­ної множини належать також точки (жо; уо), о; уо), (жо; уо). Це означає, що осі Ож і Оу - осі симетрії шуканої множини. Тому знайдемо її частину, що лежить у першій чверті, а решту дістанемо, симетрично відобразивши цю частину відносно осей координат.

Для ж > 0 і у > 0 маємо \ж\ = ж, \у\ = у, а тому рівняння набуде вигляду ж + у = 1. Нарисувавши частину цієї прямої, що лежить у першій чверті, і відобразивши її симетрично відносно осей координат, одержимо шукану множину - квадрат, що зображений на

рисунку 1. у

Рис. 1

Розглянуті приклади показують, як метод координат доз­воляє застосовувати алгебраїчні методи при розв'язуванні гео­метричних задач. Тепер розглянемо приклад, коли алгебраїч­ну задачу можна розв'язати геометрично за допомогою методу координат.

Приклад 4. При яких значеннях параметра а система

ґ я2 + у2 _ 1, [    я + у _ а

не має розв'язків, має єдиний розв'язок, має безліч розв'язків?

А Перше рівняння системи - це рівняння кола з центром у по­чатку координат і радіусом 1. Друге рівняння є рівнянням прямої, яка відтинає на осях координат відрізки, довжиною а. Розв'язати систему - це означає знайти точки, координати яких задовольняють як перше, так і друге рівняння, тобто знайти точки перетину прямої я + у _ а і кола. З рис. 2 випливає, що при а > а/2 і при а < -\[2

139у

 

 

я + у ^

 

 

 

я2 + у2 _

 

Рис. 2

пряма не перетинає кола, тоб­то система не має розв'язків; при а _ ±л/2 маємо дотичні до кола, тобто система має єди­ний (кратний) розв'язок; при я -\[2 < а < л/2 пряма пере­тинає коло, тобто система має два розв'язки. Інших випадків немає. ►

Вправи

1. Один кінець відрізка рухається по осі Ож, а другий - по осі Оу. Знайти рівняння лінії, яка описується серединою цього відрізка, якщо його довжина дорівнює /.

2. Скласти рівняння лінії, відстань кожної точки якої від точки

Я ^0; ^ дорівнює відстані цієї самої точки від прямої у = ^.

3. Знайти рівняння множини точок, добуток відстаней яких від точок        а; 0) і 7^2 (а; 0) є сталою величиною, що дорівнює а2.

4. Скласти рівняння множин точок, рівновіддалених від точок А(1;1) і В(3;3)._

5. Знайти рівняння множини точок, сума квадратів відстаней яких від точок А(2;0) і В(0;2) дорівнює квадрату відстані між точ­ками А і В.

Відповіді

1. ж2 + у2 = . 2. у = ж2. 3. (ж2 + у2)2 = 2а2(ж2 у2). 4. ж + у 4 = 0. 5. ж2 + у2 2ж 2у = 0.

140

§2. Площина й пряма в просторі

2.1. Площина в просторі.

2.1.1. Нормальний вектор площини. Різні типи рівнянь площини. Розглянемо в просторі М3 площину Р. її положення повністю визначається заданням ненульового век­тора ТІ = (А; В; С), перпендикулярного до цієї площини, і де­якої точки Моо; уо; 2о), що лежить у цій площині. Вектор ТІ називається нормальним вектором площини.

Знайдемо рівняння площини Р, що проходить через точку Мо(хо; уо; 20) і має нормаль­ний вектор ТІ = (А; В; С). Для цього візьмемо довільну точку М(х; у; 2) площини, яка не збігається з точкою

Мо і

Оскільки МоМ1!-

п , то

МїоМ

І

0,

розглянемо вектор - хо; у - уо; 2 - 2о)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія