В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 47

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

(1)

що еквівалентно рівнянню

А(х - хо) + В(у - уо) + С(2 - 2о) = 0.

(2)

Очевидно, що рівняння (2) не задовольняють координати жодної точки N / Р, бо ТІМ-]^ = 0.

Рівняння (2) називається рівнянням площини, що про­ходить через задану точку. Це рівняння є рівнянням пер­шого степеня відносно змінних (координат) х, у І 2.

Приклад 1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку Мо(2; -3; 1), перпендикулярно до вектора ТІ = (5; 1; -4).

< Маємо А = 5, В = 1, С = -4. Згідно з (2), одержуємо рівняння

площини

або

5- 2) + 1- (-3)) + (-4)(2 - 1) = 0

5х + у - 42 - 3 = 0. ►

141

Надаючи коефіцієнтам А, В, С у рівнянні (2) конкретних значень, можна одержати рівняння будь-якої площини, що про­ходить через точку Мо(жо; уо; го). Сукупність площин, що про­ходять через задану точку, називається в'язкою площин. Рів­няння (2), у якому коефіцієнти А, В і С набувають довільних значень, називається рівнянням в'язки площин.

Приклад 2. Знайти рівняння площини, що проходить через три задані точки М1(х1; у і; гі), Л^а^; у2; х2), М3(х3; у3; г3).

А Запишемо рівняння в'язки площин, що проходять через точку Міі; уі; гі):

А(х - хі) + В(у - уі) + С(г - 2і) = 0.

(3)

У цьому рівнянні коефіцієнти А, В і С невідомі. Щоб їх знайти, ско­ристаємося тим, що координати точок М2 і М3 повинні задовольняти рівняння (3):

А(х2 - хі) + В(у2 - уі) + С(22 - гі) = 0, (4)

А(хз - хі) + В(уз - уі) + Сз - гі) = 0. (5)

Очевидно, що (3), (4), (5) - це однорідна система трьох рівнянь із трьома невідомими А, В, С. Така система, як відомо, має ненульові розв'язки тоді й тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

х - хі     у - уі     г - гі

х2 - хі у2 - уі г2 - гі х3 - хі  у3 - уі  г3 - гі 0.

(6)

Рівняння (6) і є рівнянням площини, що проходить через три задаш точки.

Зокрема, у випадку, коли Мі(1; -1; 0), М2(2; 1; -3) і М3(-1; 0; 0), рівняння площини має вигляд

х- 1 у + 1 2 - 1    1 + 1

-1 - 1 0+ 1

0,

х

у + 1

12 21

0,

-1)

2 -3

- + 1)

1 -3

 

1 2

1 0

 

-2 0

+ г

-2 1

0,

3(х - 1) + 6(у + 1) + 5г = 0 або 3х + 6у + 5г + 3 = 0. ►

142

г

г

2.1.2. Загальне рівняння площини. У попередньому пункті ми довели, що будь-якій площині відповідає рівняння першого степеня відносно змінних координат.

Розглянемо тепер загальне рівняння першого степеня з трьома змінними

Принаймні один із коефіцієнтів А, В, С не дорівнює нулю, бо в противному випадку ми мали б рівність О = 0. Зазначимо, що тотожність 0 • х + 0 • у + 0 г + 0 = 0 задовольняють всі точки

Рівняння (8) рівносильне рівнянню (7). Порівнюючи (8) із (2), ми бачимо, що (8), а отже, і (7) є рівнянням площини, що має нормальний вектор ТІ = (А; В; С) і проходить через точку Мо(0;0; ^). Отже, доведено, що будь-яке рівняння першого степеня (7) є рівнянням деякої площини.

Рівняння (7) називається загальним рівнянням площи-

Якщо вільний член О = 0, то рівняння площини має вигляд Ах + Ву + Сг = 0, і його задовольняють координати початку координат х = 0, у = 0, г = 0. Отже, площина проходить через

Очевидно, що рівняння х = 0, у = 0, г = 0 відповідно є рівняннями координатних площин Оуг, Охг, Оху.

Приклад 3. Побудувати площину 2х + 3у + 6г 6 = 0.

Ах + Ву + С г + О = 0.

ни.

початок координат.

у

А Знайдемо точки перетину пло­щини з осями координат. Для знаход­ження точки перетину з Ох, треба під­ставити в рівняння площини у = 0, г = 0. Тоді матимемо 2х + 3 0 + 6 0 6 = 0, звідки х = 3.

х

143

Аналогічно, покладаючи х = 0, у = 0, знаходимо точки перетину з віссю Ог, а саме 2 0 + 3 0 + 6г 6 = 0, звідки г = 1. Нарешті, при х = 0, г = 0 знаходимо у = 2. Отже, дана площина проходить через три точки Мі(3;0;0), М2(0;2;0) і М3(0;0; 1).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія