В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 48

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Якщо в рівнянні (7) О = 0, то, поділивши дане рівняння на —О, дістанемо

хуг

- + £ + - = 1, (9) а    Ь с

де а = Ц, Ь = Ц, с = Ц. Рівняння (9) називається рів­нянням площини у відрізках на осях координат.

2.1.3. Взаємне розміщення площин у просторі.

Розглянемо дві площини Р\ і Р2, що задані відповідно рівнян­нями Аіх + Віу + Сіг + Оі = 0, А2х + В2у + С2г + О = 0.

Очевидно, що площини Рі і Р2 є: 1) паралельними тоді й тільки тоді, коли їхні нормальні вектори —ТІ і = і; Ві; Сі) і І—Т2 = (А2; В2; С2) колінеарні, тобто

Аі = Ві = С1; (10)

А2     В2 С2

2) перпендикулярними тоді й тільки тоді, коли їхні нормальні вектори І—Ті = (Аі; Ві; Сі) і І—Т2 = (А2; В2; С2) перпендикулярні, тобто І—ТіІ—Т2 = 0 або

АіА2 + ВіВ2 + СіС2 = 0. (11) Дві площини Рі і Р2 збігаються, коли

Аі = Ві = Сі = Оі. (12)

А2       В2       С2 О,

Під кутом між двома площинами розуміємо кут р між нор­мальними векторами гТі = і; Ві; Сі) і гг2 = 2; В2; С2) цих площин. Тому

І—ТіІ—Т2

або

=        АіА2 + Ві В2 + СіС2

сО8 р = V А2, + в2 + СУ А2 + в22 + С2' (13)

144

Приклад 4. Записати рівняння площини, що проходить через точку Мо(—2; 1;4) паралельно площині 3х + 2у 7г + 8 = 0.

А Рівняння в'язки площин, що проходять через точку М0(—2; 1;4) має вигляд

А(х + 2) + В 1) + С(г 4)=0. (14)

З цієї сукупності виділимо ту з них, яка паралельна площині 3х + 2у 7г + 8 = 0. Очевидно, що це можливо, коли нормальний вектор ггі = (А; В; С) площини (14) колінеарний вектору гг2 = (3; 2; —7). Зокрема, можна взяти —Т = гг2. Тому рівняння шуканої площини

3(х + 2) + 2(у 1) + (—7)(г 4) = 0

або

3х + 2у 7 г + 32 = 0. ►

Приклад 5. Знайти кут між площинами х + 2у 3г + 4 = 0 і

2х + 3у + г + 8 = 0.

А Згідно з формулою (13)

1 2 + 2 3 + (—3) 1 5 л/12 + 22 + (—3)2л/22 + 32 + 12 14

гл .... 5

Отже, один із суміжних кутів дорівнює р = агссов 14, а другий -п р.

Приклад 6. Через точку М0(—2;3;6) провести площину, пер­пендикулярну до площин 2х + 3у 2г 4 = 0 (Рі) і 3х + 5у + г = 0

2).

А Нехай ТІ = (А; В; С) нормальний вектор шуканої площини. Тоді рівняння цієї площини має вигляд

А(х + 2) + В(у 3) + С(г 6) = 0 (Р).

Для того щоб знайти А, В, С, скористаємося тим, що Р_І_Рі і Р-І-Р2, тобто ТІ —.тії, ТІ_-її2, де —Т = (2; 3; —2), гї2 = (3; 5; 1). Отже, дістанемо систему

Г 2А + 3В 2С = 0,

3А + 5В + С = 0.

Звідки, взявши, наприклад, С =1, одержуємо, що

А =13,    В = —8.

145

Тому рівняння шуканої площини

13(ж + 2) - 8(у - 3) + (г - 6) = 0

або

13ж - 8у + г + 44 = 0.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія