В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 49

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Цей приклад можна розв'язати, використовуючи поняття век­торного добутку. Оскільки нормальний вектор -І шуканої площини перпендикулярний до нормальних векторів ТІ і і ТІ2 відповідно пло­щин Р\ і Р2, то він є векторним добутком цих векторів, тобто

І = [і 1, і 2] =

2 3 2

3 5 1

3   - 2

 

2 -2

51

- І

3 1

23 35

13 і - 8 І + К .

Це означає, що А = 13, В = -8, С = 1, а тому рівняння площини 13(ж + 2) - 8 - 3) + - 6) = 0

або

13ж - 8у + г + 44 = 0. ►

2.1.4. Точка перетину трьох площин. Нехай задано три площини Аіж + Ру + Сіг + Б\ = 0 і), А2ж + В2у + С2г + Р>2 = 0 (Р2) і А3ж + В3у + С3г + Бз = 0 (Р3). Щоб знайти точ­ку перетину цих площин, треба, очевидно, розв'язати систему рівнянь

Аіж + Віу + Сіг + Бі = 0,

А2ж + В2у + С2г + Б2 = 0, А3ж + В3у + С3г + Б3 = 0.

Якщо визначник цієї системи

 

Аі

Ві

Сі

 

А =

А2

В2

 

= 0,

 

А3

В3

С3

 

146то вона має єдиний розв'язок, тобто три площини перетина­ються в одній точці.

Приклад 7. Знайти точку перетину площин ж + у - 2г + 3 = 0, 2ж - 2у + 3г - 7 = 0, ж + 3у - г - 4 = 0.

А Розв'язуючи систему

ж + у - 2г + 3 = 0,

2ж - 2у + 3г - 7 = 0, ,

ж + 3у - г - 4 = 0

за допомогою формул Крамера, знайдемо координати точки перети­ну площин

-3    1 -2 7    -2 3 4     3 -1

1 1 -2

2 -2 3 1  3 1

-18 ^18 1

1 -3 -2

2 7 3 1  4 -1

1 1 -2

2 -2 3 1  3 1

-36

^Ї8

2,

11 2 -2 13

1

7

4

1   1 -2

2-2 3

1

-54 ^18 3.

х

2.1.5. Відстань від точки до площини. Нехай задані точка Мі(хі; уі; Хі) і площина Р, що має рівняння Ах + Ву + Сх + Б = 0. Відстань й між ними, тобто довжина перпенди­куляра, опущеного з точки Мі на площину Р, визначається за формулою

й = |Ахі + Вуі + Схі + Б\ =      л/А2 + В2 + С2     ' ( )

Приклад 8. Знайти відстань між площинами 2х + у - х - 3 = 0 (Рі) і 4х + 2у - 2х + 6 = 0 (Р2).

А Оскільки площини паралельні, то відстань між ними - це від­стань від будь-якої точки площини Рі до площини Р2. Візьмемо,

147наприклад, точку Мі (0; 0; —3) на площині Р\ і знайдемо відстань від неї до площини Р2. Маємо

|4 ■ 0 + 2 ■ 0 - 2 ■ (-3)+6| _ |6 + 6| _ _12_ л/42 + 22 + (-І)2       _   ^24  _ 276

/6

л/6.

2.2. Пряма в просторі.

2.2.1. Каношчш та параметрична рівняння пря­мої. Положення прямої у просторі повністю визначається за-данням довільної фіксованої її точки Мо і ненульового вектора ~7, який паралельний цій прямій або лежить на ній. Вектор 7 називається напрямним вектором даної прямої.

Виведемо рівняння прямої Ь, що проходить через задану точку Мо(жо; уо; го) і напрямним вектором якої є 7 _ (т; п;р).

Нехай М(х; у; г) - довільна точка прямої Ь, тоді вектор МоМ _ - хо; у уо; г го) колінеарний вектору ТІ _ (т; п; р), тобто

-_-_-. (16)

тпр

Рівняння (16) називаються канонічними рівняннями прямої в просторі.

Числа т, п і р є проекціями напрямного вектора 77 на ко­ординатні осі.

Оскільки вектор ~7 - ненульовий, то всі три числа т, п і р не можуть одночасно дорівнювати нулю, але один або два з них можуть дорівнювати нулю. Наприклад, можливий такий запис:

х  хо   у  уо   г го

_ ' (16) який означає, що проекції вектора 7 на осі Оу і Ог дорівнюють нулю. Тому і вектор ~7 _ ;0;0), і пряма, яка визначена рів­няннями (16'), перпендикулярні осям Оу і Ог, тобто площині

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія