В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 5

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Площину, в якій розміщені осі Ох і Оу назвемо коорди­натною площиною і позначимо Оху.

Візьмемо довільну точ­ку М координатної площини

_М Оху. Опустимо з неї перпен-

Т дикуляри ММі і ММ2 від-

I повідно на осі Ох і Оу. Коор-

дината х точки Мі на осі Ох

-1->-      називається абсцисою точ-

_ч/_/ х

х      Мі ки М, а координата у точки

М2 на осі Оу - ординатою точки М.

Розглядувані разом, числа х і у називаються прямокутни­ми або декартовими прямокутними координатами точки М. Той факт, що точка М має координати х і у, символічно позначають так: М(х;у). При цьому першою в дужках вка­зують абсцису, а другою - ординату. Початок координат має координати (0; 0).

Отже, у вибраній системі координат кожній точці М площи­ни відповідає упорядкована пара чисел (х; у) - її прямокутні координати і, навпаки, кожній упорядкованій парі (х; у) від­повідає, і при тому одна, точка М на площині Оху така, що її абсциса дорівнює х, а ордината - у. Отже, прямокутна система координат на площині встановлює взаємно однозначну відпо­відність між множиною всіх точок площини і множиною всіх

18упорядкованих пар дійсних чисел.

Точки на осі Ох мають координати (х; 0), а точки на осі Оу

- (0;у).

Осі Ох і Оу ділять координатну площину на чотири ча­стини, які називаються чвертями і позначаються римськими цифрами I, II, III і IV так, як показано на рисунку.

у

 

 

II

 

I

х < 0, у > 0

 

х > 0, у > 0

 

 

 

О

 

 

III

 

IV

х < 0, у < 0

 

х > 0, у < 0

Для довільних двох точок М\(х\] у\) і Мг(ж2; Уг) площини відстань й між ними визначається формулою

& = \/(Х2 - Хі)2 + (У2 - Уі)2.

Приклад 3. Знайти відстань й між точками Мі(—2;4) і М2(5;3).

< Маємо й = ^/(5 — (—2))2 + (3 — 4)2 = л/50 = 5л/2. ►

Переконаємося, що положення точки в просторі можна визначити трьома числами.

Розглянемо три взаємно перпендикулярні осі в просторі Ох, Оу і Ох, які мають спільний початок О - точку перетину осей і спільну масштабну одиницю. Назвемо ці осі координатними осями, а їх спільний початок - початком координат.

Простір, у якому задано осі Ох, Оу і Ох, позначимо симво­лом Охух.

Нехай М - довільна точка простору Охух. Проведемо че­рез неї три площини, які перпендикулярні координатним осям. Точки Мі, М2, М3 перетину цих площин з осями Ох, Оу і Ох називаються проекціями точки М на відповідні осі. Нехай

19точка Мі на осі Ох має координату х, точка М2 на осі Оу -координату у і точка М3 на осі Ох - координату х. Числа х, у, х називаються прямокутними або декартовими прямокутними координатами точки М в просторі. Той факт, що точка М має координати х, у, х записують символічно так: М(х; у; х). При цьому х називають абсцисою, у - ординатою, а х - апліка­тою. Такі самі назви мають і координатні осі: вісь Ох назива­ють віссю абсцис, вісь Оу - віссю ординат, вісь Ох - віссю апл!кат.

х

Очевидно, що кожна точка М простору Охух визначає єди­ну впорядковану трійку чисел (х; у; х) - її координати. Навпа­ки, положення точки М в просторі Охух цілком визначається трьома її декартовими координатами.

Якщо через кожну пару координатних осей провести пло­щину, то дістанемо три взаємно перпендикулярних площини Оху, Оух і Охх, які називаються координатними площина­ми. Вони ділять простір на вісім частин - октантів.

Якщо в просторі Охух взято точки Міі; уі; хі) і М2(х2; у2; х2), то відстань між ними знаходиться за формулою

Л = л/(х2 - хі)2 + (у2 - уі)2 + (х2 - хі)2.

Приклад 4. Знайти відстань між точками Мі( —1;2; — 3) і М2(1;1; -5).

< Згідно з попередньою формулою, одержимо

Л = >/(! - (-1))2 + (1 - 2)2 + (-5 - (-3))2 =

20

= ^22 + (-1)2 + (-2)2 ^4 + 1 + 4 = ^9 = 3. ►

2.5. Полярні координати на площині. Сферичні координати в просторі

2.5.1. Полярні координати на площині. Візьмемо в площині деяку точку О, яку назвемо полюсом. Проведемо з точки О фіксований промінь ОР (тобто напрямлену півпряму ОР), який називається полярною віссю.

Полярні радіус г і полярний кут р повністю визначають положення точки М на площині і називаються полярними координатами М. Позначаємо це так: М(г; р). При цьому по­лярний кут р вважається додатним, якщо відраховувати його від полярної осі проти ходу годинникової стрілки, і від'ємним - за ходом годинникової стрілки. Тому, щоб описати всі точки площини досить змінювати р в таких межах: 0 < р < 2п, а г > 0. Зауважимо, що полюсу О відповідає г = 0, а полярний

кут для нього не визначається. Це єдина точка площини, у якої

полярний кут не визначається.

Зв'язок між прямокутними та полярними коорди­натами. Припустимо, що полюс полярної системи збігається з початком декартової прямокутної системи координат Оху, а полярна вісь - з додатною піввісю Ох.

О

М

Нехай М - довільна точка пло­щини. З'єднаємо точку М з полюсом О відрізком ОМ. Довжина відрізка ОМ = г називається полярним ра­діусом точки М, а кут р = АМОР

Р

- полярним кутом.

Тоді для довільної точки М, що має прямокутні координати (х; у), а полярні (г; р) маємо такі співвідно-

шення:

О А = х, АМ = у, ОМ = г, ААОМ = р.

21

Вважаючи кут р гострим, із прямокутного трикутника МОА знаходимо OA = OM cos р, AM = OM sin р, тобто

Ґ x = r cos p, \ y = r sin p.

Легко переконатися, що формули (7) правильні для будь-якого кута р, і вони виражають декартові координати через полярні.

З іншого боку, з цього самого трикутника АОМ маємо ОМ = VOA2 + AM2, tg р = OAt або

/ r = \/x2 + y2, (8) і tg р = x. (8)

Так виражаються полярні координати через прямокутні. Зауважимо, що при визначенні кута р за значенням tg р, по­трібно враховувати знаки координат x та y.

Якщо в полярній системі коорди­нат фіксувати р, а довільним чином змінювати лише r > 0, то одержи­мо напівпрямі, що виходять з полю­-— са (промені). Навпаки, при фіксова­ному r та зміні р від 0 до значення 2п отримаємо коло з центром в точці O радіуса r.

Отже, полярна система координат характеризується поляр­ною сіткою, яка складається з променів, що виходять з точки O, і кіл, з центром в цій точці.

Полярну сітку використовують, наприклад, у фізичній гео­графії для побудови "рози" вітрів або діаграм орієнтації улам­ків породи.

Приклад 5. Дано прямокутні координати точки M: x = 1, y = 1. Знайти її полярні координати.

< За формулами (8) знаходимо r = а/12 + 12 = л/2, tg р =1. Із двох значень р = п і р = у слід розглянути р = п, оскільки точка M лежить в першому квадранті. Отже, полярні координати точки M такі: r = V2, р = п.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія