В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 50

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Оуг.

148

Зауважимо, що рівності (16') рівносильні таким: у = уо, г = го, а х - довільне.

Приклад 9. Записати рівняння прямої Ь, що перпендикулярна до площини 2х —3у+4г — 8 = 0 (Рі) і проходить через точку перетину цієї площини з віссю Ог.

А Знайдемо спочатку точку перетину площини Рі із віссю Ог : х = 0, у = 0, тоді 4г — 8 = 0 або г = 2. Отже, точка М0(0; 0; 2) є точкою перетину даної площини з віссю Ог.

Згідно з умовою задачі пряма Ь перпендику­лярна площині Рі, а це означає, що вектор 1? І в        колінеарний нормальному вектору ТІ площи­ни Рі, тому можна взяти Т = ТІ = (2; —3; 4). Якщо скористатися рівняннями (16), то одержимо рівняння шу-

каної прямої

0     у 0

2

або

—3

2 - 2

Якщо прирівняти співвідношення (16) до і Є К, то дістане-

мо

X

хо + ті,  у = уо + пі,  г = 2о + рі,  і Є К. (17)

Рівняння (17) називаються параметричними рівняннями прямої у просторі

2.2.2. Рівняння прямої, що проходить через дві точки. Нехай пряма Ь проходить через дві різні точки Міі; уі; гі) і М2(х2; у2; г2). Складемо канонічне рівняння цієї прямої. Для цього за напрямний вектор прямої візьмемо

8/А42

7/ = М1М2 = 2 — хі; у2 — у і; г2 — гі).

Отже, т = х2 — хі, п = у2 уі, р = г2 — гі, тому з рівнянь (16) одержимо рівняння шуканої прямої

X

хі = у уі = г_

Х2 — Хі       у2 — уі       22 2і

(18)

х

2

X

2

149

Рівняння (18) називаються рівняннями прямої, що про­ходить через дві точки.

Приклад 10. Знайти рівняння прямої, що проходить через точ­ки М1(2;3; —5) і М2( — 4;3;2).

А Згідно з (18) маємо рівняння шуканої прямої

х 2      у 3     г + 5 х 2     у 3     г + 5

-=-=- або -=-=-.

—4 2     3 3     2 + 5 —6 0 7

Дана пряма перпендикулярна осі Оу.

2.2.3. Кут між двома прямими. Умови паралель­ності й перпендикулярності прямих. Нехай у просторі задано дві прямі:

х — хі     у — уі     г — гі

-=-=- і),

ті пі рі

х — х2    у — у2     г — г2   .

- = - = - 2).

т2        п2 р2 За кут між прямими Ьі і Ь2 візьмемо кут р між напрямними векторами «і і 2 даних прямих. Оскільки і = і;пі;рі), «2 = 2;П2;Р2), то

ссй р = або

тіт2 + ПіП2 + ріР2 ,1П.

с°8 р =     ,   2       2-2   г^Г-    2       2 . (19)

т2і + пі2 + р2і  т22 + п22 + р22

Умови паралельності й перпендикулярності двох прямих Ьі і Ь2 рівносильні відповідно умовам колінеарності й перпенди­кулярності їхніх напрямних векторів ~$\ і ~§2, а саме:

ті    пі рі Ьі||Ь2 о Я||і2 о = = ; (20) т2    п2 р2

Ьі±Ь2 о 777і_«2    о   тіт2 + піП2 + ріР2 = 0. (21)

Приклад 11. Знайти кут між прямими

х   2    у+ 3    г   1 х+ 2    у    г 3

5 3 -2   v 17       3        2       5    v '

І2 м

150

А Згідно з формулою (19) маємо

соє р

5 • 3 + 3 • 2+ (-2) • 5

л/б2 + з2 + (-2/32+~22_+52

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія