В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 51

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

11

38

або = агссоє 11 38'

2.2.4. Пряма як лінія перетину площин. Пряму в просторі можна визначити як лінію перетину двох непаралель-них площин А1х + В1у + С1х + Б1 = 0 (Р1) і А2х + В2у + С2х + 02 = 0 (Р2), тобто як множину точок, координати яких задо­вольняють систему двох лінійних рівнянь

Аіх + Віу + Сіх + Гл = 0, А2х + В2У + С2Х + Г2 = 0.

(22)

Правильне й обернене твердження: система двох незалеж­них лінійних рівнянь (22) визначає пряму як лінію перетину площин (якщо вони не паралельні). Рівняння (22) називають­ся загальними рівняннями прямої.

Приклад 12. Скласти канонічні рівняння прямої, що задана загальними рівняннями

- 5у + х + 4 = 0, х + 2у - х + 2 = 0. А Знайдемо спочатку параметричні рівняння прямої. Для цього розв'яжемо дану систему відносно у і х:

-5у + х = -2х - 4, 1    - х = - 2;

-2х - 4 1

 

- 2 -

1

 

-5 1

 

 

2 -1

 

х + 2; х

-5 -2х- 4

2     - 2

-5 1 21

3х + 6.

Отже, х = і, у = і + 2, х = 3і + 6 - параметричні рівняння прямої. Тоді канонічні рівняння прямої такі:

х    у - 2    х - 6

1 =    1    =    3 ,

(1;1;3). ►

у

151

Приклад 13. Знайти координати точки М, що ділить навпіл відрізок прямої

х - 2     у + 1     х - 3 3    =    5    =   -1 , який міститься між площинами Охх і Оху.

А Знайдемо точку перетину даної прямої з площиною Охх. Для цього підставимо у = 0 у рівняння прямої

х - 2     1     х - 3        ґ        = і

— = 5 = аб(°    4 '

Звідси випливає, що х = 13, х = 14. Отже, точкою перетину прямої з площиною Охх є точка Мі(13; 0;14).

Аналогічно, підставивши х = 0 у рівняння прямої, дістанемо точ­ку перетину прямої з площиною Оху:

х - 2     у +1 ґ  х - 2 = 9,

»    = —= 3 або <^ 3 5 + 1 = 15;

звідки х = 11 , у = 14, х = 0. Точка перетину прямої з площиною Оху - М2(11;14;0).

Знайдемо координати точки М(х; у; х), що є серединою відрізка

М1М2:

13/5+ 11     34          0+ 14    ^ 14/5 + 0 7

х =-= —; у = -=7;   х =-= —.

2           5 ' У        2          ' 2 5

Отже, М(34; 7; 7]. ►

5

2.2.5. Відстань від точки до прямої у просторі. Нехай ряма Ь: водиться, щ за формулою

є пряма Ь: = ^ТГ0 = ^г;20 і точка М1(х1; у1; х1) поза нею.

Доводиться, що відстань від даної точки до прямої знаходиться

й = (23)

у1 - уо х1 - хо

2

+

х1 - х0 х1 - х0

2

+

х1 - хо у1 - уо

п р

 

р т

 

т п

л/т2 + п2 + р2

Приклад 14. Знайти відстань від точки М\(1; -1; -2) до пря­мої

х + 3 = у + 2 = х - 8

32

152

А Скористаємося формулою (23):

-1 + 2

2

-2 - 8  2 -2 _2      + _

8   1 + 3 З

1 + 3   -1 + 2 З 2

л/З2 +22 + (-2)2

1 -10

2

+

-10 4

2

+

4 1

2 -2

 

-2 3

 

3 2

 

 

л/Ї7

 

 

 

22)2

+ Б2 = J

'833

= 7.

у/й

=

Т7~

 

2.3. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі.

2.3.1. Умови паралельності й перпендикулярно­сті прямої й площини. Розглянемо пряму

x - xq    y - yo    z - zq

(L)

(24) (2 )

т п р

і площину

Ах + Ву + Сх + Г = 0 (Р).

Очевидно, що пряма Ь і площина Р:

1)паралельні тоді й тільки тоді, коли напрямний вектор її = (т; п; р) прямої і нормальний вектор ТІ = (А; В; С)

. §      ь площини перпендикулярні, тобто

Ат + Вп + Ср = 0, (26)

2) перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли вектори S (m; n; p) і ТІ = (A; B; C) колінеарні, тобто

ABC

L

г­

m

n p

(27)

d

153

Приклад 15. Написати рівняння площини, що проходить через дану точку Мо(2; -3; 4) паралельно до прямих

х     у - 1     х - 3   .   х + 1     у - 1     х + 5

1

4

0

2

А Нехай ТІ = (А; В; С) - нормальний вектор шуканої площини Р . Тоді рівняння площини матиме вигляд

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія