В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 52

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

А(х - 2) + В + 3) + С(х - 4) = 0.

(28)

Оскільки площина Р паралельна прямим Ь1 і Ь2, то її нормаль­ний вектор ТІ = (А; В; С) перпендикулярний до напрямних векторів 1? 1 = (1; 2; 8) і Т2 = (4; 0; 2) прямих Ь\ і Ь2, тобто є їхнім векторним добутком.

Отже,

і     3 к

128 402

2

8

_^

1

8

0

2

- 3

4

2

12 40 4і + 303 - 8 к ,

тобто А = 4, В = 30, С = -8.

Підставивши знайдені коефіцієнти в (28), дістанемо рівняння шу­каної площини

4(х - 2) + 30(у + 3) - 8(х - 4)=0 або 2х + 15у - 4х + 57 = 0. ►

2.3.2. Перетин прямої з площиною. Щоб знайти точ­ку перетину прямої Ь і площини Р, треба розв'язати систему рівнянь (24), (25).Для цього запишемо рівняння прямої Ь у па­раметричній формі

х = х0 + ті,  у = у0 + пі,  х = х0 + рі (29)

і підставимо (29) у рівняння (25). Тоді одержимо, що

А(х0 + ті) + В(у0 + пі) + С 0 + рі) + В = 0

або

і(Ат + Вп + Ср) = -(Ах0 + Ву0 + Сх0 + В).

154

Звідси, якщо Ат + Вп + Ср _ 0, тобто нормальний вектор площини Р не перпендикулярний до напрямного вектора 1 прямої Ь, то існує єдиний розв'язок цього рівняння

_ _ Ах0 + Ву0 + Сх0 + Б Ат + Вп + Ср

Підставивши це значення і _ іо У (29), одержимо координати точки перетину прямої Ь і площини Р.

Якщо Ат + Вп + Ср _ 0, тобто 1 А. 1, то можливі два випадки: 1) Ах0+Ву0+Сх0+Б _ 0, тобто точка (х0; у0; х0) <^ Р, то значення і не можна визначити, а це означає, що пряма Ь і площина не перетинаються; 2) Ах0 + Ву0 + Сх0 + Б _ 0, тобто точка (х0; У0; 20) ^ Р, то рівняння для знаходження і має безліч розв'язків, а це означає, що пряма Ь лежить в площині Р; і тому всі точки цієї прямої є точками перетину прямої Ь і площини Р.

Приклад 16. Знайти точку перетину прямої х-1 _ _ із площиною 2х + 3у _ 2х + 2 _ 0.

А Запишемо рівняння прямої в параметричній формі х _ 2і + 1, у _ Зі _ 1, х _ 2і + 5. Підставивши ці вирази в рівняння площини, дістанемо

2(2і + 1) + 3(3і _ 1) _ 2(2і + 5) + 2 _ 0   або і _ 1. Тоді координати точки перетину прямої та площини х _ 2 1 + 1 _ З, у _3 1 _ 1 _ 2, х _2 1 + 5_7, тобто точкою перетину прямої і площини є М(3; 2; 7)

2.3.3. Кут між прямою і площиною. Розглянемо пряму Ь, яка визначається рівнянням (24), і площину Р, рів­няння якої (25). Знайдемо кут ф між прямою Ь і площиною Р. Очевидно, що р + ф _ 1, тому ссе _ ««(2 _ ф) _ 8ІП ф. Оскільки

1 1 Ат + Вп + Ср

І11 11     л/А2 + В2 + С V т2 + п2 + р2

то

Ат + Вп + Ср

8ІП ф _    , —, . (30)

л/А2 + В2 + С V т2 + п2 + р2

155

ft = (А; В; C)

s = (m; щ p)

Приклад 17. Знайти кут між прямою Ь і площиною Р, якщо пряма й площина задані відповідно рівняннями:

x - y + z = 0, x + 2y + 2z - 2 = 0;

(L)      2x - 5y + z - 2 = 0 (P).

А Для того щоб записати канонічні рівняння прямої Ь, розв'яжемо систему

x - У = -z,

x + 2y = 2 - 2z.

Маємо

_

-z -2z + 2

-1 2

 

1 -1 1 2

 

- з z +

1

-z

1

1

-2z + 2 |

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія