В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 55

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

А(х — хо) + В(у уо) = 0. (33)

ХМ(х; у)

Мо(хо; о)

х

Одержане рівняння задовольняють координати довільної точки М(х; у) прямої Ь. Якщо деяка точка Мі(хі; у\) не ле­жить на прямій Ь, то її координати не задовольняють рівняння (33), оскільки в цьому випадку ТІ МоМ\ = 0. Отже, рівняння (33) є рівнянням прямої Ь. Воно називається рівнянням пря­мої, що проходить через дану точку перпендикулярно до заданого вектора.

Приклад 1. Знайти рівняння прямої, що проходить через точ­ку Мо( 1; 3) перпендикулярно до вектора ТІ = (2; 5).

А Скористаємося рівнянням (33), де А = 2, В = 5, хо = 1,

о = 3:

2(х + 1) 5(у 3) =0

або

5у + 17 = 0. ►

3.2. Точка перетину прямих. Побудова прямої за її рівнянням. Нехай задано дві прямі Аіх + Віу + Є\ = 0

(Ьі) та А2х + В2у + С2 = 0 (Ь2) і треба знайти точку їхнього перетину. Оскільки ця точка належить кожній з двох заданих прямих, то її координати повинні задовольняти як рівняння першої прямої, так і рівняння другої прямої.

160

Отже, для знаходження координат точки перетину двох прямих, треба розв'язати систему рівнянь

Ґ Аіх + Біу + Сі =0,

\  А2Х + Б2У + С2 =0.

Якщо ця система має єдиний розв'язок (хоо), то у цьо­му випадку прямі Ьі і Ь перетинаються в одній точці (хо;уо). Якщо ж система не має розв'язків, то прямі Ьі і Ь2 не пере­тинаються, тобто Ьі \\ Ь2- У випадку, коли система має безліч розв'язків, то прямі Ьі і Ь2 збігаються.

Приклад 2- Знайти точку перетину прямих 2х + у 1 =0 і х + 2у + 1 = 0.

А Координати шуканої точки перетину знайдемо, розв'язавши систему рівнянь

ґ   2х + у =1, 1 х + 2у = —1.

Маємо

11 12

21 12

2+1 4 - 1

3 3

21 1

1

21 12

1,

—1,

тобто точка перетину М має координати х = 1 і у = —1.

Для побудови прямої за відомим рівнянням досить знати

дві її точки. Щоб знайти кожну з цих точок, задамо довільне

значення однієї з її координат, а потім із рівняння одержимо

відповідне значення другої координати.

Якщо в загальному рівнянні прямої Ах + Бу + С = 0 обидва

коефіцієнти при х і у не дорівнюють нулю, тобто А = 0 і Б =

0, то для побудови цієї прямої найкраще знаходити точки її

перетину з осями координат.

Приклад 3. Побудувати пряму 2х + у 2 = 0.

х=

1

у

1

161

А Знайдемо точку Мі(жі; у\) перетину даної прямої з віссю Ох. Для цього розв'яжемо сумісно їхні рівняння:

ґ 2х + у - 2 = 0, І        У = 0,

звідки хі = 1, уі = 0. Отже, знайдено точку Мі(1; 0) перетину прямої з віссю абсцис. Розв'язуючи аналогічно систему

ґ 2х + у - 2 = 0, \        х = 0,

знаходимо точку М2(0; 2) перетину прямої з віссю ординат. За точ­ками Мі і М2 будуємо нашу пряму

\ у\

 

 

М2(0;2) ^

 

 

-

А   2ж + у - 2 = 0

 

0

МЦ1;0)

 

ь

Приклад 4. Побудувати пряму ж + 2у = 0.

А Очевидно, що задана пряма проходить через точку О(0; 0). Для того щоб знайти другу точку, через яку проходить ця пряма, візьмемо ж = 2, тоді 2 + 2у = 0 або у = —1. Отже, другою точкою є Мі (2; 1)

у

1  2 .

О

—1

1      1 *

_^^Мі (2; 1)

3.3. Напрямний вектор прямої. Канонічне рів­няння прямої. Розглянемо на площині Оху довільну пряму

162

Ь. її положення повністю визначається заданиям будь-якої її точки Мо(жо; уо) і ненульового вектора 1 = (т; п), який па­ралельний даній прямій або лежить на ній. Цей вектор нази­вається напрямним вектором прямої Ь.

—ж

Нехай М(ж; у) - довільна точка прямої Ь. Оскільки векто­ри М= — ж0; у — уо) і 1 = (т; п) колінеарні, то їхні координати пропорційні

жжо = ууо (34) т п '

Одержане рівняння задовольняють координати довільної точки М(ж; у) прямої Ь і не задовольняють координати точок Мі(жі; уі), що не лежать на цій прямій. Воно називається ка­нонічним рівнянням прямої Ь.

Якщо пряма Ь проходить через точку Мо(жо; уо) паралель­но осі Оу, то її рівняння ж = жо. Напрямний вектор цієї прямої 1 = (0; п), а тому з (34) одержуємо рівняння

ж — жо = у — уо 0    =    п '

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія