В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 56

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Аналогічно, канонічне рівняння прямої, що паралельна осі Ож, має вигляд у = у о або

ж — жо = у — уо т0

Нехай задано дві точки Мі(жі; уі) і М2(ж2; у2) на площині. Складемо канонічне рівняння прямої, що проходить через ці точки. За її напрямний вектор 1 візьмемо вектор МіМ2 =

163

(х2—х1;у2—уі)- Використовуючи формулу (34) при т = х2—Х\,

П = У2 — /і, одержуємо

= ІЩ* . (35) х2 — хі    у2 — уі

Рівняння (35) називається рівнянням прямої, що про­ходить через дві задані точки.

Приклад 5. Скласти рівняння прямої Ь, що проходить через початок координат, перпендикулярно до прямої Ьі, яка проходить через точки М1(4; —3) і М2( 1;0).

А Знайдемо спочатку рівняння прямої Ьі, що проходить через точки М1(4; —3) і М2( 1;0):

х 4     у + 3 —5   = 3

або

3х + 5у + 3 = 0.

Рівняння шуканої прямої Ь, яка проходить через точку О(0; 0) має вигляд

Ах + Ву = 0.

Щоб знайти А і В, скористаємося тим, що Ь+Ьі, отже, нормаль­ний вектор ТІ = (А; В) прямої Ь колінеарний напрямному вектору

А      В 5

1? = (—5; 3) прямої Ьі, тобто — = — або А = В.

—5     3 3

Тому рівняння прямої Ь таке: |Вх + Ву = 0 або 5х 3у = 0.

3.4. Рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку. Пучок прямих. Нехай на площині Оху задано пряму Ь, яка перетинає вісь Ох у точці М. Кутом а між прямою Ох і прямою Ь називається найменший кут, на який треба повернути навколо точки М проти годинни­кової стрілки вісь Ох до суміщення її з прямою. Якщо пряма збігається з віссю Ох або паралельна до неї, то кут а дорівнює нулю.

Розглянемо на площині Оху пряму Ь, яка не паралельна осі Оу. Гї положення повністю визначається кутом а між віссю Ох та прямою Ь і точкою Моо; уо), що належить цій прямій. За напрямний вектор даної прямої візьмемо одиничний вектор

164

it о = (cos a; sin а), який утворює з віссю Ох той самий кут, що й пряма L.

х

Тому в рівнянні (34) треба взяти m = cos a, n = sin а, а це означає, що воно запишеться у вигляді

хо     у - Уо

cos a

sin a

або

y - уо = tgа(х - хо). Позначивши tg а = к, останнє рівняння запишемо у вигляді

у - уо = к(х - хо).

(36)

Число к = tg а називається кутовим коефіцієнтом пря­мої, а рівняння (36) - рівнянням прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку.

Запишемо рівняння (36) у вигляді

у = кх + b,

(37)

де Ь = уо — кхо. Рівняння (37) називається рівнянням пря­мої з кутовим коефіцієнтом, а ордината Ь - відрізком, що відтинає пряма на осі Оу.

Розглянемо деякі частинні випадки рівняння (37). Якщо Ь = 0, то рівняння (37) набуває вигляду

у = кх.

(38)

У цьому випадку пряма проходить через початок координат.

Інший частинний випадок рівняння (37) одержимо, коли к = tg а = 0, тобто а = 0:

у = ь.

(39)

х

165

Це рівняння прямої, паралельної осі Ох.

Якщо пряма Ь, не перпендикулярна осі Ох, задана загаль­ним рівнянням

Ах + Ву + С = 0,

причому В = 0, то, розв'язуючи його відносно у, дістаємо рів­няння прямої з кутовим коефіцієнтом

АС

у = -Вх - B,

де к = - А, Ь = - В.

Приклад 6. Скласти рівняння прямої, що проходить через точ-

п

ку Мо(2; -1) й утворює з віссю Ох кут а = .

6

. п 1

А Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої к = tg а = tg = .

6

Згідно з формулою (36) рівняння прямої має вигляд

У +1 = —д - 2)

або

х -^Лу - 2 - л/3 = 0. ►

Приклад 7. Дано загальне рівняння прямої 2х - 2у - 3 = 0. Знайти відрізок, який відтинає ця пряма на осі Оу, а також кут між віссю Ох і даною прямою.

А Розв'язавши дане рівняння відносно у, отримаємо рівняння з

кутовим коефіцієнтом: у = х - |, де к = tg а = 1, Ь = -1. Отже,

.3

відрізок, що його відтинає пряма на осі ординат, дорівнює - ^, а кут

п

а між віссю Ох і даною прямою дорівнює 4.

3.5. Кут між двома прямими. Умови паралель­ності й перпендикулярності двох прямих. Нехай дві прямі Ьі і Ь2 перетинаються в точці М. У залежності від того, якими рівняннями визначаються ці прямі, ми одержимо відпо­відні формули для знаходження кута між ними.

Якщо прямі Ьі і Ь2 задані загальними рівняннями Аіх + Віу + Сі = 0 (Ьі) і А2х + В2у + С2 = 0 (Ь2), то кут між ними

166

- це кут р між їхніми нормальними векторами ТІ\ і ТІ2 = 2; В2), а тому

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія