В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 57

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

ссй р

АіА2 + В1В2

А2 + В2л22+В2'

і; Ві)

(40)

Якщо прямі Ьі і Ь задані своїми канонічними рівняннями

X

х1

у

Уі   . х - х2        у - у2

2), то кут між ними

- це кут р між їхніми напрямними векторами а1 = і;пі) і а2 = 2; і2), тобто

С08 р

5 1S 2

ті т2 + пі п2

55 і|| 5

2 + пі

і + п2

(41)

22

У випадку, коли рівняння прямих Ьі і Ь2 мають вигляд у = кіх + Ьі (Ьі) і у =      + 62 2), то

tg р = tg(a2 - аі)

tg а2 - tg аі 1 + tg аі tg а2

або

tg р

к2 - кі

І и

(42)

1 + кік2'

оскільки tg аі = кі, tg а2 = к2. При цьому кут р відраховується у напрямку від прямої Ьі до прямої Ь2.

Ь2

у

/ Р

_ Ьг<Г_аі _ _ _

Ьі

 

 

 

 

 

" 0

/

 

Опишемо умови паралельності й перпендикулярності пря­мих Ьі і Ь2. Якщо прямі Ьі і Ь2 задані своїми загальними рівняннями, то

Аі Ві

Ьі||Ь2 О аіЦіІ2

А2 В2

(4 )

167

Ь1±_Ь2 &1      2 & А1А2 + В1В2 = 0. (44)

Я Аі     Ві     Сі . .

Якщо ж виконується умова —— = — = —, то прямі Ьі і

А2      В2 С2

Ь2 збігаються.

У випадку, коли прям Ьі Ь2 задан канон чними р внян-нями, то

Ьі||Ь2 &1і\\~?2 &— = —, (45)

Ьі±Ь2 & 1і±1?2 & шіш2 + піп2 = 0. (46)

Якщо Ьі Ь2 визначаються р вняннями з кутовим коеф -ц єнтом, то

Ьі||Ь2 & аі||а2 & tgаі = tgа2 & кі = к2, (47)

г п 1 + кік2

Ьі±Ь2 & р = - & ctg р =--— = 0 &

2 к2 - кі

& 1 + кік2 = 0 & кік2 = -1. (48)

Приклад 8. Знайти кут між прямими 3х+у-6 = 0 і х+2у+1 =

0. 1 1

А Запишемо дані рівняння у вигляді у = - 3х + 6 і у = - ^ х - 2

та скористаємося формулою (42), де кі = -3, к2 = - ^:

t     = к2 - кі =      -1/2 + 3 g Р = 1 + кік2 = 1 + (-3)(-1/2) = '

тобто р = . 4

Приклад 9. Знайти рівняння прямої Ь, що проходить через точку Мо(3; -5) паралельно прямій Ьі, яка проходить через точки Мі(0; -2) і М2(-1;3).

А Рівняння прямої Ьі , яка проходить через точки Мі і М2 , має вигляд:

х - 0 = у + 2 -1 - 0 = 3 + 2

або у = -5х - 2, де кі = -5.

Знайдемо тепер рівняння прямої Ь, скориставшись (36):

у + 5 = -5(х - 3)

168у = -5х + 10. ►

3.6. Відстань від точки до прямої.

п

(А; В)

Р Мо

р

Мі

N

Нехай треба знайти відстань і від точки Мо(хо; уо) до пря­мої Ь, що задана рівнянням Ах + Ву + С = 0. Візьмемо на прямій Ь довільну точку Мі(хі; уі) і розглянемо вектор

уі). Через точку Мо проведемо пряму

хі ; уо -

паралельно до прямої Ь. Тоді

МіМо = (хо но д

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія