В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 59

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

3) аі = 2, а2 = 5.

171

§4. Криві другого порядку

4.1. Рівняння кривої другого порядку. На площині, в деякій прямокутній системі координат Оху розглянемо рів­няння другого порядку

Ах2 + Вху + Су2 + Бх + Еу + Я = 0, (50)

де А, В, С, Б, Е, Я - задані дійсні числа і, крім того, принайм­ні одне з чисел А, В або С відмінне від нуля. Сукупність точок площини, координати яких задовольняють рівняння (50), на­зивається кривою другого порядку. Може трапитися, що немає точок із дійсними координатами, які задовольняють рів­няння (50). У цьому випадку кажуть, що рівняння (50) визна­чає уявну криву другого порядку.

Раніше ми вивели рівняння кола з центром у точці Мо(хо; уо) і радіусом Я:

(х — хо)2 + (у — уо)2 = Я2. (51)

Якщо розкрити дужки в рівнянні (51), то дістанемо рівняння кола у такому вигляді:

х2 + у2 ох оу + х2о + уо2 Я2 = 0.

Це рівняння є рівнянням вигляду (50), де коефіцієнт В = 0, а А = С. Легко бачити, що рівняння (50), у якому А = С, а В = 0 визначає коло, якщо воно взагалі визначає деякий реальний об'єкт.

Приклад 1. Довести, що рівняння х2 + у2 2х + 4у 11 = 0 визначає коло і знайти координати його центра й радіус.

А Оскільки А = С і В = 0, то рівняння визначає коло. Щоб знайти центр і радіус даного кола, запишемо рівняння у вигляді

(х2 2х + 1) + (у2 +4у + 4) = 16

або

1)2 + (у + 2)2 =42. Отже, центр кола Мо(1; —2), а радіус Я = 4.

172

Приклад 2. Довести, що рівняння х2 + у2 + 6х 6у + 22 = 0 не визначає ніякої дійсної лінії.

А Виділимо у рівнянні повні квадрати:

(х2 + 6х + 9) + (у2 — 6у + 9) = —4,

або

+ 3)2 + - 3)2 = -4.

Оскільки ліва частина не може бути від'ємною, а права частина є від'ємним числом, то дане рівняння не задовольняють координати жодної точки площини. Кажуть, що рівняння задає уявне коло. ►

У наступних пунктах ми розглянемо інші криві другого по­рядку: еліпс, гіперболу й параболу.

Важливу роль при вивченні питання про те, яку лінію визначає рівняння (50), відіграє перетворення системи коор­динат на площині.

4.2. Перетворення систем координат на площині.

Нехай є дві декартові прямокутні системи координат Оху і О'х'у'.

Розглянемо деяку точку М, ко­ординатами якої в системі Оху є (х; у), а в системі Ох'у1 - (х'; у'). Вважатимемо, що точка О' має в системі координат Оху коорди­нати (а; Ь). Знайдемо зв'язок між х старими координатами (х; у) точ­ки М і новими (х'; у'). Маємо

у

ОО' + О'М,

(52)

де ОЙ = хг + у з, О'М = х'г' + у']', ОО' = аг + Ь].

Розкладемо вектори г' та ]' по базису г, ]. Якщо позначити через а кут, який утворює вісь Ох' із віссю Ох, то матимемо:

? = (прОх^) г + (прочІ') З,

173

? = cos ai + sinaj,   j' = sinai + cos a j. (53) Тоді рівність (52) можна подати у вигляді

x i + У j = a i + £> j + x'(cos a i + sin a j) +

+y'(— sin a i + cos a j). Звідси випливає, що

x = a + x' cos а — y' sin а, y = b + x'sinа + y' cos а.

(54)

Формули (54) називаються формулами перетворення декартової системи координат на площині.

Якщо а = 0, то маємо паралельне перенесення системи координат в точку О'(а; Ь):

{

xx a + xx , y = b + y'.

У випадку, коли O = O', одержуємо формули повороту осей:

J x = x' cos a y' sin a, ( )

\ y = x'sina + y' cos a.

Приклад 3. Виразити старі координати точки x i y через її нові координати x', y' при повороті осей на кут = ^.

А Оскільки cos — = —, sin — = —, то згідно з формулами (55) маємо

' 1    'V3 ' 1

x = x--y ,   y = x--+ y

2    y   2 2 2

або

x = 2(x' ^V3y'), y = 2(V3x' + y').

4.3. Еліпс. Еліпсом називається множина усіх точок пло­щини, сума відстаней кожної з яких від двох даних точок цієї площини, які називаються фокусами, є сталою величиною, більшою за відстань між фокусами.

174

Позначимо фокуси через і*\ і і2, відстань між ними - через 2с, а сталу величину, що дорівнює сумі відстаней кожної точки еліпса до фокусів, через 2а. Згідно з умовою 2а > 2с, тобто а > с.

Побудуємо декартову систему координат так, щоб фокуси іі і і2 лежали на осі абсцис, а початок координат збігався із серединою відрізка і\І2. У такій системі координат фокуси мають координати        с;0) і і2;0).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія