В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 6

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

22

Приклад б. Полярні координати точки r = 2, р = —. Знайти її прямокутні координати.

< За формулами (Т) маємо x = 2 cos =0, y = 2 sin = 2. ► 2.5.2. Циліндричні координати в просторі. Виберемо на фіксованій площині P деяку точку O і взаємно перпендику­лярні промені Ox і Oy, що виходять з неї. Прямі, що містять ці промені, візьмемо за осі координат в цій площині. Крім того, розглянемо вісь Oz, яка проходить через точку O перпендику­лярно до площини P. Нехай M - довільна точка простору, M* - проекція цієї точки на площину P, а Mz - проекція M на вісь Oz. Циліндричними координатами точки M називаються три числа r, р і z, перші два з яких r і р є полярними коорди­натами точки M* в площині P відносно полюса O і полярної осі Ox, а число z є координатою точки Mz на осі Oz. Точку M з циліндричними координатами r, р і z позначають M(r; р; z). Назва циліндричні координати пов'язана з тим, що коорди­натна поверхня r = const, тобто поверхня, всі точки якої мають одну й ту саму координату r, є циліндром з твірними паралельними осі Oz.

Якщо вибрати осі декартової прямокутної системи коорди­нат Охуг так, як показано на рисунку, то декартові координати х, у, г точки М будуть зв'язані з її циліндричними координа­тами співвідношеннями

x = r cos р, y = r sin р,

z = z, r > 0,

0 < р < 2n, —oo < z < oo.

y

23

Оскільки перші дві циліндричні координати г і р є поляр­ними координатами проекції М* точки М на площину Р, то їх стосуються всі зауваження і висновки, які зроблено в поперед­ньому пункті.

2.5.3. Сферичні координати в просторі. Розглянемо прямокутну систему координат Охуг в просторі. Тоді, як відо­мо, довільна точка М простору має координати (х; у; х).

Мх...

y

Положення точки M в просторі можна задавати трійкою чисел r, p, в, де r - довжина відрізка OM, в - кут, який утво­рює промінь OM з віссю Oz, а p - кут між променем OMi і додатним напрямком осі Ox. Щоб описати всі точки простору досить брати r > О, О < p < 2п і О < в < п. Точка O - по­чаток координат, характеризується тим, що для неї r = О, а координати p і в не мають певного значення; всі точки на осі Oz описуються значеннями в = О або в = п і r > О, а кут p для них не визначається.

Введена впорядкована трійка чисел r, p, в називається сфе­ричними координатами точки M в просторі.

Назва сферичні координати пов'язана з тим, що координат­на поверхня r = const, тобто поверхня, всі точки якої мають одну й ту саму координату r, є сферою.

Встановимо зв'язок між прямокутними і сферичними ко­ординатами. Нехай точка M знаходиться у першому октанті. Якщо M(x; y; z), то відрізок OMi = x, OMi' = y, M1M = z. То­ді з трикутника AOMM1 маємо: MM1 = OM sin(- в), тобто

24

ММ\ = r cos в] OMi = OM cos(f - в) = r sin в. З трикутни­ка АОМ\М[ випливає, що OMi = OMi cos р = r sin в cos p, а MiMi = OMi = OMi sin p, тобто x = r sin в cos p, y = r sin в sin p. Отже, отримали формули

x = r sin в cos p, y = r sin в sin p, z = r cos в, (9)

які встановлюють зв'язок між прямокутними і сферичними ко­ординатами точки М з першого октанту. Легко можна пере­свідчитися, що вони є правильними для точок всіх інших ок­тантів.

Для формул (9) оберненими є, очевидно (дивись той самий рисунок), формули

tg p =

cos в =

x2 + y2 + z2,

y

(1О)

Сферичні координати часто застосовують в географії, особ­ливо при складанні карт земної поверхні. При цьому Земля вважається наближено кулею з центром в початку координат, радіус якої г ~ 6371 км. Тоді розташування будь-якої точки на земній поверхні характеризується кутом ір, що називається довготою, і кутом в, що називається широтою.

Якщо зафіксувати кут р = ро, а в змінювати від 0 до п, то на поверхні сфери одержимо півколо великого радіуса КМБ, яке називається меридіаном, тут N(г; 0; 0) - північний полюс Зем­лі, а 5(г; 0; п) - південний полюс Землі.

Куту р = 0 відповідає меридіан, що проходить через по­люси Землі і місто Гринвіч . Якщо ж зафіксувати кут в, а кут

r

r

25р змінювати в межах від 0 до 2тт, то одержимо паралель (зо­крема, при 9 = п/2 - екватор).

Знаючи довготу і широту населених пунктів земної поверх­ні, можна знайти відстані між ними. Нехай Л\ і А2 - дві точки на поверхні Землі, яким відповідають довгота і широта відпо­відно рі, 9і та р2, 92. За відстань між цими точками беруть довжину найкоротшої дуги великого кола земної кулі, що про­ходить через ці дві точки Аі і А2.

На рисунку зображена части­на цього великого кола, а - кут між променями ОАі і ОА2 (вва­жатимемо, що кути а, р, 9і, р2, 92 вимірюються в градусах), а г - ра­діус Землі. Довжина І дуги вели­кого кола знаходиться із пропорції

Аг

І

А2

О

2nr 360°

І

тобто І

а

180°'

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія