В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 61

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

ті = а + єх,   г2 = а єх.

4.4. Гіпербола. Гіперболою називається множина то­чок площини, абсолютна величина різниці відстаней кожної з яких від двох даних точок цієї площини, які називаються фо­кусами, є сталою величиною, що не дорівнює нулю і менша від відстані між фокусами.

Позначимо відстань між фокусами іі і і2 через 2с, а сталу величину, що дорівнює модулю різниці відстаней від кожної точки гіперболи до фокусів, через 2а, причому 0 < 2а < 2с або 0 < а < с.

Як й у випадку еліпса виберемо систему координат так, щоб вісь абсцис проходила через фокуси іі і і2, а за початок координат візьмемо середину відрізка і^і^. У даній системі координат фокуси мають координати      —с; 0) і і2(с; 0).

Виведемо рівняння гіперболи у вибраній системі координат. Згідно з означенням гіперболи для довільної точки М(х; у) гі­перболи маємо

\МЯі МГ2\ = 2а

або

МЯі Мі2 = ±2а. Оскільки Міі = л/(х + с)2 + у2 і Мі2 = л/(х с)2 + у2, то

л/(х + с)2 + у2 л/ с)2 + у2 = ±2а. (61)

Після спрощень, подібних до тих, які проведено при виве­денні рівняння еліпса, дістанемо рівняння

(а2 с2)х2 + а2у2 = а2(а2 с2), (62)

179яке є наслідком рівняння (61).

Очевидно, що це рівняння подібне до рівняння (57). Однак у рівнянні (62) різниця а2 с2 < 0, оскільки а < с. Тому по­кладемо

с2 а2 = Ь2. (63) Тоді рівняння (62) набуде вигляду

—Ь2х2 + а2у2 = —а2Ь2

або

іІ = 1. (64)

Воно називається канонічним рівнянням гіперболи.

Рівняння (64), яке є наслідком рівняння (61), задовольняють координати будь-якої точки гіперболи і не задовольняють ко­ординати точки, що не лежить на гіперболі.

Вивчимо форму гіперболи, користуючись її канонічним рів­нянням. Це рівняння містить лише парні степені, а тому гі­пербола має дві осі симетрії, які збігаються з координатними осями. Надалі осі симетрії гіперболи називатимемо осями гі­перболи, а точку їхнього перетину - центром гіперболи. Вісь гіперболи, на якій розміщені фокуси, називатимемо фокаль­ною віссю. Дослідимо формулу гіперболи у першій чверті, де

у = -\/х2 а2. (65)

Тут х > а, оскільки під знаком кореня повинен бути невід'ємний вираз. При зростанні х від а до = +оо величина у зростає від 0 до +оо. Отже, частина гіперболи, яка лежить у першій чверті, є дуга АМ, що зображена на рисунку.

Оскільки гіпербола розміщена симетрично відносно коор­динатних осей, то ця крива має вигляд, який зображений на рис. 2. Точки перетину гіперболи з фокальною віссю назива­ються її вершинами. Покладаючи у = 0 у рівняння гіпербо­ли, знайдемо абсциси її вершин х = ±а. Отже, гіпербола має дві вершини А(а; 0) і Аі(—а;0). З віссю ординат гіпербола не перетинається. Справді, поклавши в рівнянні гіперболи х = 0,

180дістанемо для у уявні вирази: у = ^л/—Ь2. Тому фокальна вісь гіперболи називається дійсною віссю, а вісь симетрії, перпен­дикулярна до фокальної осі, - уявною віссю гіперболи.

Дійсною віссю називають також відрізок довжиною 2а, який з'єднує вершини гіперболи. Відрізок, довжиною 26, який з'єднує точки В(0; Ь) і Ві(0; —Ь) називається уявною віссю гіперболи. Числа а і Ь називаються відповідно дійсною й уяв­ною півосями гіперболи. Можна довести, що при досить ве­ликих за абсолютною величиною х точки графіка гіперболи як завгодно близькі до прямих

які називаються асимптотами гіперболи.

Для побудови графіка гіперболи зручно спочатку побуду-

вати прямокутник із центром у початку координат і зі сторона­ми, паралельними координатним осям Ох і Оу, довжини яких

дорівнюють відповідно 2а і 26. Цей прямокутник називають ос­новним. Кожна з його діагоналей, необмежено продовжена в обидва боки, є асимптотою. Далі очевидно, як будувати графік гіперболи.

Відношення половини відстані між фокусами до дійсної півосі гіперболи називається ексцентриситетом гіперболи й позначається літерою є:

(66)

с

є = -. а

(67)

181

Оскільки для гіперболи с > а, то ексцентриситет гіперболи є > 1. Ексцентриситет характеризує форму гіперболи. Справ­ді, (~~^   = (—)   ~ 1 = є2 — 1. Звідси видно, що чим менший

ексцентриситет гіперболи, тим менше відношення її півосей.

Ь а Відношення — визначає форму основного прямокутника опер­сь

боли, а отже, і форму самої гіперболи. Чим менший ексцентри­ситет гіперболи, тим витягнутіший у напрямку фокальної осі її основний прямокутник.

У

 

 

 

 

 

 

 

 

А )

 

"\ сі

 

 

 

 

 

Рис. 3

Рівняння

Ь2 а2

також визначає гіперболу. Вона зображена на рис. 3 пунктир­ними лініями; її вершини лежать на осі Оу. Ця гіпербола нази­вається спряженою до гіперболи (64). Обидві гіперболи ма­ють одні й ті самі асимптоти.

Гіпербола називається рівнобічною, якщо її дійсна піввісь дорівнює уявній півосі, тобто а = Ь. Канонічне рівняння рівно­бічної гіперболи має вигляд

х! _ уі = 1

2 2

або

2      2 2 х — у = а .

182

Асимптотами рівнобічної гіперболи є прямі

у = х   і   у = —х,

тобто бісектриси першого й третього координатних кутів. Ексцентриситет рівнобічної гіперболи

с     V а2 + а2     \/2 • а л-

є = - =-=-= у2.

а а а

Приклад 6. Знайти канонічне рівняння гіперболи, якщо від-

стань між її фокусами дорівнює 26, а ексцентриситет А Згідно з умовою 2с = 26, тобто с = 13, а є = -

13

12

= ^ = 13

а 12

випливає, що а

12. Тоді Ь

рівняння гіперболи має вигляд

х2 у2 144 — 25

а2

1. ►

132 122

звідки 5. Отже,

Приклад 7. Гіпербола, осі якої збігаються з осями координат, проходить через точки Мі(—3; ^) і М2(4; —2). Знайти її канонічне рівняння.

А Шукане канонічне рівняння гіперболи має вигляд

22

х2 у2

аа2 ¥

1,

де а і Ь невідомі. Оскільки гіпербола проходить через точки Ш\ і М2, то їхні координати задовольняють рівняння гіперболи, тобто

а2

4! а2 ( У/2/2)2 Ь2

Ь2

1,

1,

або

9

1/2

а2 Ь2

16 4

а2 Ь2

1,

1.

183

Звідси знаходимо а? = 8, Ь2 = 4, а тому рівняння гіперболи

Директрисами гіперболи називаються дві прямі, пер­пендикулярні до фокальної осі гіперболи і симетрично розмі-

а

щені відносно її центра на відстані —.

є а

Оскільки для гіперболи є > 1, то — < а. Звідси випливає,

що директриси гіперболи розміщені всередині смуги, де немає жодної точки гіперболи.

Як і у випадку еліпса відношення довжини фокального ра­діуса кожної точки гіперболи до відстані цієї точки від відпо­відної директриси є сталою величиною, яка дорівнює ексцен­триситету гіперболи, тобто —- = є і — = є [6].

Приклад 8. Ексцентриситет гіперболи є = 3, відстань від точ­ки М гіперболи до директриси дорівнює 4. Знайти відстань від точки М до фокуса, однобічного з цією директрисою.

< Оскільки ^ = є, то 4 =3 або г = 12. ►

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія