В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 62

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Фокальш радiуси точки М(х; у) гіперболи обчислюються за формулами:

1)якщо точка М лежить на правш вітці гіперболи, то

є

т\ = єх + а,  г2 = єх — а;

184

2) якщо ж точка М лежить на лівій вітці гіперболи, то

т\ = —єх — а,  г2 = —єх + а.

4.5. Парабола. Параболою називається множина точок площини, для кожної з яких відстань до деякої фіксованої точ­ки Г, яка називається фокусом, дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої Ь, яка називається директрисою.

Для виведення рівняння параболи введемо на площині пря­мокутну систему координат так, щоб вісь абсцис проходила через фокус параболи перпендикулярно до директриси і була напрямлена від директриси до фокуса. За початок координат візьмемо середину відрізка між фокусом і директрисою.

Нехай М(х; у) - довільна точка параболи. Позначимо через г відстань від точки М до фокуса Г, тобто г = ЯМ, через сі -відстань від точки М до директриси, а через р - відстань від фокуса до директриси.

Величину р називають параметром параболи. Точка М лежатиме на параболі тоді й тільки тоді, коли

г = і,

тобто

МІГ = МИ.

Ь

N

у

Я М(х; у)

ТЦГо)

З рисунка випливає, що МИ = \ Я + ЯМ = Р + х, а

Отже,

р

р

2 + о)2.

,   . 2+х=\/(х—2)2

Піднісши обидві частини до квадрата, дістанемо

+ у2.

2 р2     2 р2 2

х + рх + = х рх + ^" + У ,

185у2 = 2рх.

(68)

Рівняння (68) називається канонічним рівнянням пара­боли. Його задовольняють координати довільної точки пара­боли. Можна довести, що координати точок, що не лежать на параболі, не задовольняють рівняння (68).

Дослідимо форму параболи за її рівнянням (68). Оскільки це рівняння містить у тільки в парному степені, то парабола си­метрична відносно осі Ох. Отже, досить розглянути тільки ту її частину, що лежить у верхній півплощині. Для цієї частини у > 0, тому, розв'язавши рівняння (68) відносно у, одержимо

у

\/2рх.

(69)

директриса

З рівності (69) випливає: 1) якщо х < 0, то лівіше від осі Оу немає жодної точки параболи; 2) якщо х = 0, то у = 0, а це означає, що поча­ток координат належить па­раболі; 3) при необмеженому зростанні х величина у та­кож необмежено зростає.

Отже, змінна точка М(х;у), переміщуючись параболою зі зростанням х, виходить із початку коор­динат і рухається вправо і вверх, причому при х —>■ +оо точка нескінченно віддаляється як від осі Оу, так і від осі Ох. Відобразивши симетрично розглянуту частину параболи від­носно осі Ох, дістанемо всю параболу, що задана рівнянням

(68).

Вісь симетрії параболи називається фокальною віссю. Точка О перетину параболи з віссю симетрії називається її вер­шиною.

186

Парабола, рівняння якої у2 = —2рх, р > 0, розміщена зліва від осі ординат (рис. 4^). Вершина цієї параболи збігається з початком координат, а віссю симетрії є вісь Ох.

Рівняння х2 = 2ру, р > 0 є рівнянням параболи, вершина якої збігається з початком координат,а віссю симетрії є вісь Оу (рис. 4, б). Ця парабола лежить вище осі абсцис. Рівняння х2 = —2ру, р > 0 визначає параболу, що лежить нижче від осі Ох, з вершиною в початку координат (рис. 4,в).

У\

ОО

У

О

а)

б)

в)

X

X

X

Рис. 4

Приклад 9. Для параболи у2 = 6х знайти рівняння директри­си і координати фокуса.

А Порівнюючи рівняння у2 = 6х із канонічним рівнянням па­раболи (69), одержимо, що 2р = 6, або р = 3. Оскільки директриса

р р параболи має рівняння х = ^, а фокус - координати (т^'О), то от-

3

римаємо, що рівняння директриси нашої параболи х = ^, а фокус

рф0). ►

Зауваження. Парабола має лише один фокус, а довжина її осі необмежена. Отже, означення ексцентриситету, яке ана­логічне тому, що ми мали у випадку гіперболи та еліпса, не має змісту. Тому у випадку параболи домовляються, що є = 1. Ця домовленість грунтується на тому, що для еліпса і гіперболи

— = є, а для параболи — = 1. а а

4.6. Зведення загального рівняння лінії другого порядку до найпростішого вигляду. Вигляд рівняння кривої залежить від вибору системи координат. У різних си­стемах координат для однієї й тієї самої кривої можна діста­ти рівняння різної складності. Тому виникає задача спрощення

187рівняння даної кривої за допомогою перетворення систем коор­динат. Таке спрощення дозволяє одержати простіше рівняння і за його виглядом визначити тип кривої, тобто вияснити чи є крива еліпсом, гіперболою і т.п.

Розглянемо загальне рівняння лінії другого порядку

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Бх + 2Еу + Р = 0, (70)

де коефіцієнти А, В, С, Б, Е і Р - довільні числа, і, крім того, А, В і С не дорівнюють нулю одночасно, тобто А2+В2+С2 = 0.

Теорема. Якщо АС — В2 = 0, то за допомогою паралель­ного перенесення і наступного повороту осей координат рів­няння (70) зводиться до вигляду

Ах2 + Су2 + Р = 0, (71)

де А, С, Р - деякі числа; (х; у) - координати точки в новій системі координат.

А Зробимо паралельне перенесення системи координат за формулами

х = х' + хо,   у = у' + уо. (72)

Підставивши (72) у (70), одержимо в нових координатах рів­няння

Ах'2 + 2Вх'у' + Су'2 + 2Б'х' + 2Е'у' + Р' = 0, (73)

де

Б' = Ахо + Вуо + Б;   Е' = Вхо + Суо + Е;

Р' = Ах2, + 2Вхо уо + Суо + 2Бхо + 2Еуо + Я.

У рівнянні (73) коефіцієнти Б' і Е' перетворюються в нуль, як­що підібрати координати точки (хо; уо) так, щоб виконувались рівності

Вхо + Суо + Е = 0. (7 )

Оскільки АС — В2 = 0, то система (74) має єдиний розв'язок відносно хо, уо.

188

Якщо (xo; yo) - розв'язок системи (74), то рівняння (ТЗ) за­пишеться у вигляді

Axl2 + 2Bxlyl + Су12 + Fl = О. (75)

Нехай тепер прямокутна система координат Olxy одержана за допомогою повороту на кут а системи Olxlyl. Тоді коорди­нати x1, у1 зв'язані з координатами x, у формулами

x = x cos а у sin а,  у1 = x sin а + у cos а. (76)

Підставивши (76) у (75), одержимо рівняння

Ax2 + 2Bx у + Су2 + F = О, (77)

де _

A = A cos2 а + 2B cos а sin а + С sin2 а;

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія