В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 63

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

B = —A sin а cos а + B(cos2 а sin2 а) + С sin а cos а;

С = A sin2 а 2B cos а sin а + С cos2 а,   F = Fl.

Виберемо а так, щоб коефіцієнт B у рівнянні (77) перетворився в нуль. Ця вимога приводить до знаходження а з рівняння

2B cos 2а = (A С) sin 2а.

Якщо A = С, то cos 2а = О, і можна взяти а = 4. Якщо ж A = С, то беремо а = ^ arctg -^zq , і рівняння (77) набуває вигляду

Ax2 + Су2 + F = о,

що й доводить теорему. ►

Класифікація ліній другого порядку. Коефіцієнти A, B і С при старших членах рівняння (70) при паралельному пе­ренесенні осей координат, як випливає з доведення теореми, не змінюються, але вони змінюються при повороті осей коорди­нат. У той же час вираз AC B2 залишається незмінним як при перенесенні, так і при повороті осей, тобто не залежить від

1B9перетворення координат. Цей факт є очевидним при паралель­ному перенесенні осей координат. Доведемо його для випадку повороту осей. Маємо

AC Б2 = (A cos2 a + 2B sin a cos а + C sin2 а) х

х (A sin2 а 2B sin a cos а + C cos2 а) ((C A) sin a cos а+ +B(cos2 а sin2 а))2

або

AC Б2 = AC (cos2 а + sin2 а) Б 2(sin2 а + cos2 а) = AC Б2,

що й треба було довести.

Величина AC B2 називається Інваріантом загального рівняння лінії другого порядку.

У залежності від знаку величини AC B2 лінії другого порядку діляться на такі три типи: 1) еліптичний, якщо AC B2 > 0; 2) гіперболічний, якщо AC B2 < 0; 3) параболічний, якщо AC B2 = 0.

Розглянемо лінії різних типів.

1) Еліптичний тип. Оскільки AC B2 > 0, то згідно з тео­ремою загальне рівняння лінії другого порядку можна звести до вигляду

Ax2 + Cy2 + F = 0. (78)

Можливі такі випадки: а) A > 0, C > 0 (випадок A < 0, C < 0 зводиться до випадку A > 0, C > 0 множенням рівняння на ( — 1)) і F < 0. Перенесемо F у праву частину рівняння (78) і поділимо на нього. Тоді рівняння набуде вигляду

x2 + _! = і а2 + b2 '

FF

де а2 = —-, b2 = —. Порівнявши одержане рівняння з рів-

AC

нянням еліпса (59), робимо висновок, що воно є канонічним рівнянням еліпса.

190б) А > О, С > 0 і Р > 0. Тоді аналогічно як і вище рівняння (78) запишеться у вигляді

ж2 + у2 = а2 + Ь2 1

Це рівняння не задовольняють координати жодної точки пло­щини. Воно називається рівнянням уявного еліпса.

в) А > 0, С > 0, Р = 0. Рівняння (78) має вигляд

а2х2 + с2у2 = 0,

де а2 = А, с2 = С. Його задовольняють координати лише од­нієї точки. Таке рівняння називається рівнянням пари уявних прямих, що перетинаються.

2) Гіпєр6олічний тип. Оскільки АС В2 < 0, то згідно з теоремою загальне рівняння лінії другого порядку зводиться до вигляду (78).

Можливі такі випадки:

а) А > 0, С < 0 (випадок А < 0, С > 0 зводиться до цього випадку множенням рівняння (78) на (—1)) і Р = 0. Нехай, наприклад, Р < 0. Перенесемо Р у праву частину рівняння і поділимо на нього. Рівняння (78) набуває вигляду

де а2 = А, Ь2 = С. Одержане рівняння є канонічним рів­нянням гіперболи.

б) А > 0, С < 0 і Р = 0. Рівняння (78) набуває вигляду

а2х2 с2у2 = 0   або   (ах су)(ах + су) = 0,

де а2 = А, с2 = С. Останнє рівняння задовольняють тільки координати точок площини, що розміщені на прямих ах су = 0 і ах + су = 0, які перетинаються у початку координат, і, отже, маємо пару прямих, що перетинаються.

3) Парабол!чний тип. Якщо АС В2 = 0, то поворотом осей координат на кут а, як і в теоремі, загальне рівняння лінії другого порядку зводиться до вигляду

Ах2 + Су2 + 2Ру + 2Р>ж + Р = 0. (79)

191

Тут АС = 0 і, отже, один із коефіцієнтів А і С дорівнює нулю. Нехай А = 0, С = 0. Подамо рівняння (79) у вигляді

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія