В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 64

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

С (у2 + 2§у + (§ )2)+2—х + Р С =0,

або

С + § )2 + 2—х + Р = 0,

С

де Р = Р Щ-. Зробимо паралельне перенесення системи ко­ординат

х = х,    у = у + С' Тоді рівняння набуде вигляду

Су'2 + 2—х' + Р = 0. (80)

Можливі такі випадки;

а) = 0. Запишемо рівняння (80) у вигляді

Су'2 + 2—+ Р )=0. Перейдемо до нових координат за формулами -     /     Р    - і

х = х +2D, у = у-

Тоді дістанемо рівняння

Су2 + 2—х = 0,

або

у2 = 2рх, (81) де р = — . Рівняння (81) є канонічним рівнянням параболи.

С

б) = 0. Рівняння (80) у цьому випадку має вигляд

СУ '2 + Р = 0. (82)

192

Якщо С і Р мають різні знаки, то, покладаючи няння запишемо так: а2, рів-

(у' а)(у' + а) = 0.

Воно визначає пару паралельних прямих.

Якщо С і Р мають однакові знаки, то рівняння (82) набуває вигляду

у'2 + а2 = 0.

Це рівняння не задовольняють координати жодної точки пло­щини. Воно називається рівнянням пари уявних паралель­них прямих.

Якщо ж Р = 0, то рівняння (82) буде таким

у'2 = 0.

Воно визначає вісь О'х'. Його можна розглядати також як гра­ничний випадок при Р 0, тобто як рівняння пари прямих, що збiгаються.

Приклад 10. Яку лінію визначає рівняння

у = х2 4х + 3?

А Запишемо рівняння у вигляді

у + 1 = х2 + 4,

або

у + 1 = (х 2)2. Зробимо паралельне перенесення системи координат

у = у + 1,   х = х 2.

Тоді задана лінія запишеться у вигляді

тобто є параболою

193

Приклад 11. Яку лінію визначає рівняння 8х2 16х + 3у2 + 12у 4 = 0? А Утворимо повні квадрати

8(х2 2х + 1) + 3(у2 + 4у + 4) = 24,

або

8(х 1)2 + 3(у + 2)2 =24,

1)2 . (у + 2)2

3      +      8 . Якщо зробити паралельне перенесення системи координат

х' = х — 1,   у' = у + 2,

то дістанемо рівняння

х'2 у'2

--+ — = 1.

3 8

Це еліпс із півосями а = а/3, Ь = %/8. Оскільки а < Ь, то фокуси еліпса лежать на осі О'у'

у

\ у'

 

 

 

 

х

О

11

х'

\

-2 О'

 

Приклад 12. Яку лінію визначає рівняння

4х2 + 24ху + 11у2 — 24х — 82у + 15 = 0?

194

А У рівнянні присутній доданок з добутком xy. Тому зробимо поворот осей координат, щоб позбутися цього добутку. Для цього знайдемо кут повороту а з рівняння

2B cos 2а = (A - C) sin 2а,

24

24 cos 2а = - Т sin 2а,   tg

Т

о ,   о а 2tg а 24

З того, що іе 2а = -^— випливає, що -,—Л— =--, або

'        6 1 -      а 1-*82 а 7 '

12 іе2 а        а 12 = 0. Звідси одержуємо, що іе а = |, іе а =

— 4. Досить взяти одне з цих значень, наприклад, іе а = |. Тоді,

скориставшись формулами

І

= , sin а = tg а cos а, а

одержимо, що

З 4 cos а = ± — ,   sin а = ± — .

5' 5

Розглянемо випадок, коли

З4

cos а = -,    sin а = -5' 5

i зробимо поворот осей системи координат:

1 , -       s 1 , - -^

х =-{Зх - 4y),   y = ~{4x + 3y).

Підставивши ці вирази в рівняння лінії, отримаємо 4х2 у2 16х + 3 = 0. Тепер утворимо повні квадрати

4(х2 + 4) (у2 + + 9) = 4,

або

2)2     + 3)2 =1

І4

Зробимо паралельне перенесення системи координат x' = x - 2,    y' = y + 3.

195

У новій системі координат рівняння матиме вигляд

1  - 4 = 1 Це гіпербола з півосями а = 1, Ь = 2

у

\ 

а

Х

 

А

Х

Приклад 13. Установити, яку лінію визначає рівняння ху = а. А Тут А = С, а тому систему треба повернути на кут ^. Тоді

у/2. , а/2. , а

х = -^(х - у ),  у = -^(х + у )•

Підставивши ці вирази в рівняння кривої, одержимо рівняння

х'2 - у'2 = 2а.

Це рівнобічна гіпербола. Для неї осями симетрії є нові осі коорди­нат, а асимптотами - старі осі координат. Вона розглядалася ще в шкільному курсі математики

196

1. Точка С(3; —1) є центром кола, яке відтинає на прямій 2х +18 = 0 хорду, довжина якої дорівнює 6. Написати рівняння цього кола.

2. Скласти рівняння кола, яке проходить через точки А(5;0), 4), якщо його центр знаходиться на прямій х + у 3 = 0.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія