В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 65

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

3. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо його мала вісь дорів­нює 24, а відстань між фокусами = 10.

4. Дано еліпс 9х2 + 25у2 = 225. Знайти: а) півосі; б) фокуси;

в) ексцентриситет; г) рівняння директрис.

5. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої знаходяться на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо відстань між фокусами 2с =6 і ексцентриситет є = 3/2.

6. Скласти рівняння гіперболи, якщо відомі її ексцентриситет є = л/5, фокус Я(2; —3) і рівняння відповідної директриси 3х—у+3 = 0.

7. Знайти рівняння параболи, якщо дано її фокус Я(4; 3) і ди­ректрису у + 1 = 0.

8. На параболі у2 = 32х знайти точки, відстань від яких до пря­мої 4х + 3у + 10 = 0 дорівнює 2.

9. Які лінії визначає рівняння:

1) 4х2 + 9у2 40х + 36у + 100 = 0;

2) х2 у2 4х + 2у 4 = 0;

3) 2х2 + 2у 3 = 0;

4) 5х2 4ху + 2у2 = 24;

5) 2х2 +4ху у2 = 12;

6) 9х2 24ху + 16у2 20х + 110у 50 = 0;

7) 3х2 2ху + 3у2 12 = 0?

Відповіді

1. 3)2 + (у + 1)2 = 38. 2. 2)2 + (у 1)2 = 10.

22

3. Ї69 + Ш = 1. 4. а) 5 і 3; б)        4;0), Я2(4;0); в) є = 4/5; 25       х2 у2

г) х = ± —. 5.--= 1. 6. 7х2 у2 6ху + 26х 18у 17 = 0.

7. у = 2х2 х + 3.      8. (0;0);      (18; —24).      9. 1) ^ + І_ = 1;

/2   у/2       24    4 4 6

6) у/2 = 2х/;7) х- + Уу- = 1.

197

§5. Поверхні другого порядку

5.1. Сфера. У §1 розділу 4 виведено рівняння сфери

- хо)2 + - уо)2 + - го)2 = Я2 (83)

з центром в точці Мо(хо; уо; го) і радіусом Я.

Розкривши дужки і перенісши Я2 в ліву частину рівняння, одержимо

х2 + у2 + г2 - 2хох - 2уоу - 2гог + хо + уо + го - Я2 = 0.

Це рівняння другого степеня відносно змінних х, у, г. У ньо­му відсутні доданки з добутками координат, а коефіцієнти при х2, у2 і г2 однакові. Доведено, що будь-яке рівняння другого степеня відносно х, у і г, у якому коефіцієнти при х2, у2 і г2 однакові, а члени з добутками координат відсутні, є, взагалі кажучи, рівнянням сфери. Точнішне, таке рівняння за допо­могою утворення повних квадратів завжди можна звести до вигляду

- хо)2 + - уо)2 + - го)2 = й. (84)

Якщо при цьому й > 0, то рівняння (84) є рівнянням сфе­ри з центром в точці Мо(хо; уо; го) і радіусом Я = \[й. При й = 0 рівняння задовольняють координати лише однієї точ­ки Мо(хо; уо; го). Якщо ж й < 0, то рівняння (84) не визначає ніякої поверхні.

Приклад 1. Довести, що рівняння х2 +у2 +г2 -2х+4у+6г-2 = 0 є рівнянням сфери, і знайти центр і радіус цієї сфери.

А Утворимо повні квадрати в лівій частині рівняння. Тоді одер­жимо, що рівняння набуде вигляду

(х2 - 2х + 1) + (у2 + 4у + 4) + (г2 + 6г + 9) - 1 - 4 - 9 - 2 = 0

або

- 1)2 + (у + 2)2 + (г + 3)2 = 16.

Отримали рівняння сфери з центром в точці Мо(1; -2; -3) і радіусом Я = 4.

198

5.2. Циліндричні поверхні. Поверхня, яка складаєть­ся з усіх прямих простору М3, що перетинають задану лінію Ь і паралельні заданій прямій І, називається циліндричною поверхнею. При цьому лінія Ь називається напрямною ци­ліндричної поверхні, а кожна з прямих, які утворюють цю по­верхню і паралельні прямій І, - її твхрною. Надалі розгляда­тимемо циліндричні поверхні, напрямні яких лежать в одній із координатних площин, а твірні паралельні координатній осі, яка перпендикулярна до цієї площини.

Розглянемо на площині Оху деяку лінію Ь, яка має в си­стемі координат Оху рівняння

Я (х,у) = 0. (85)

Побудуємо циліндричну поверхню з твірними, які паралельні до осі Ох, і напрямною Ь. Доведемо, що рівняння цієї поверхні є рівняння (85), якщо його розглядати в системі координат Охух.

Нехай М(х; у; х) - довільна фіксована точка побудованої ци­ліндричної поверхні. Позначимо через Мо точку перетину на­прямної Ь і твірної, що проходить через точку М. Точка Мо є проекцією точки М на площину Оху. Тому точки М і Мо мають одну й ту саму абсцису х і одну й ту саму ординату у. Оскільки точка Мо лежить на кривій Ь, то її координати х і

199у задовольняють рівняння (85) цієї кривої. Тоді це рівняння задовольняють і координати точки М(х; у; г), оскільки воно не містить г. Отже, координати довільної точки М(х; у; г) заданої циліндричної поверхні задовольняють рівняння (85). Коорди­нати точок, які не лежать на цій поверхні, рівняння (85) не задовольняють, через те, що ці точки проектуються на площи­ну Оху поза кривою Ь.

 

ь

 

 

м

(х;у;г)

О

V

 

 

 

У

ь

Звідси випливає, що рівняння Я(х, у) = 0, яке не містить г, в системі координат Охуг, є рівнянням циліндричної по­верхні з твірними, паралельними осі Ог, і напрямною Ь, яка в площині Оху визначається тим самим рівнянням Я(х, у) = 0.

У просторі Охуг напрямна Ь визначається системою рів­нянь

Ґ Я(х,у)=0, \ г = 0.

Аналогічно можна довести, що рівняння Я(х, г) = 0, яке не містить у, і рівняння Я (у, г) = 0, яке не містить х, визначають в просторі Охуг циліндричні поверхні з твірними, що паралельні відповідно осям Оу і Ох.

Наведемо приклади циліндричних поверхонь.

200

1). Поверхня, яка визначається рівнянням

х2 + _! = і а2 + б2 '

є циліндричною і називається еліптичним циліндром. її

твірні паралельні осі Ог, а напрямною є еліпс з напівосями а і Ь, що лежить в площині Оху. Зокрема, коли а = Ь, то на­прямною є коло, а поверхня є прямим круговим циліндром. Його рівняння

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія