В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 66

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

2      2 2 х + у = а .

2). Циліндрична поверхня, яка визначається рівнянням

х2    г2 .

називається гіперболічним циліндром. Твірні цієї поверхні паралельні осі Оу, а напрямною є розміщена в площині Охг гіпербола з дійсною піввіссю а і уявною піввіссю Ь.

201

3). Циліндрична поверхня, яка визначається рівнянням

У2 = 2рг,

називається параболічним циліндром. Гї напрямною є пара­бола, яка лежить в площині Оуг, а твірні паралельні осі Ох.

Зауваження 1. Криву в просторі можна задати за допомо­гою рівнянь різних поверхонь, які перетинаються по цій кривій.

202

Наприклад, коло, що одержується при перерізі площиною г = 3 сфери х2 + у2 + г2 =25, визначається системою рівнянь

х = 3, х2 + у2

+ х2 = 25.

Це саме коло можна одержати як лінію перетину площини г =

3 і прямого кругового циліндра х2 + у2 = 16, тобто визначити системою рівнянь

Надалі, досліджуючи форму тієї або іншої поверхні за до­помогою перерізів, ми користуватимемося циліндричними по­верхнями, які проектують ці перерізи на координатні площини. Це дозволяє робити певні висновки про розміри і форму цих перерізів, а отже, і про форму поверхні, що вивчається.

5.3. Конічні поверхні. Поверхня, яка складена з усіх

прямих, що перетинають задану лінію Ь і проходять через за-

дану точку Р, називається конічною поверхнею. При цьому лінія Ь називається напрямною конічної поверхні, точка Р -її вершиною, а кожна з прямих, що утворюють конічну по­верхню, - твірною.

Як приклад розглянемо конічну поверхню з вершиною у початку координат, для якої напрямною Ь є еліпс

з півосями а і Ь, що лежить в площині Z = с. Ця поверхня називається конусом другого порядку. Для зручності змінні координати точок еліпса позначатимемо великими літерами X, У, Z, а змінні координати точок конічної поверхні - через х, у, х. Виведемо рівняння конуса другого порядку.

х = 3,

х2 + у2

16.

1

203г

Розглянемо довільну точку М(х; у; г) конічної поверхні і проведемо через неї твірну ОМ, що перетинається з напрямною в точці Мо(Х; У; с). Рівняння прямої ОМ, що проходить через точки О(0; 0; 0) і Мо(Х; У; с) має вигляд

х 0 у 0 г 0 X - 0 = У 0 = с 0

або

хуг

X = У = с

сх су

Звідси одержуємо, що X = , У = —. Підставивши ці

гг вирази в рівняння еліпса, дістанемо

с2х2 с2у2

--\--— = 1

а2г2 Ь2г2

або після перетворень

х2    у2 г2

--Ь----= 0.

а2    Ь2 с2

Одержане рівняння є рівнянням конуса другого порядку. Зокрема, якщо а = Ь, то напрямною є коло

/ 2 = с,

1 X2 + У2 = а2,

204а поверхня є прямим круговим конусом. Його рівняння

х2    у2 г2

--+----= 0.

а2    а2 с2

5.4. Поверхня обертання. Нехай лінія Ь, що лежить на площині Оуг, задана рівняннями

(86)

Розглянемо поверхню, утворену обертанням цієї лінії від­носно осі Ог. Ця поверхня називається поверхнею обертан­ня. Знайдемо її рівняння. Нехай М(х; у; г) - довільна точка

205поверхні обертання. Проведемо через точку М площину, пер-

пендикулярну до осі Ох, і позначимо точки перетину цієї пло-

щини з віссю Ох і кривою Ь відповідно через К і N. Відріз­ки КМ і KN є радіусами одного й того самого кола, а тому КМ = KN. Очевидно, що KN = \У|, а КМ = ОР = л/х2 + у2. Тому \ = л/х2 + у2 або У = ±л/х2 + у2. При цьому коорди­ната Z точки N дорівнює координаті х точки М.

Оскільки точка N лежить на лінії Ь, яка визначена рівнян-

ням (86), то координати У і Z точки N задовольняють друге

з цих рівнянь. Підставляючи в нього замість У і 2 відповідно величини ±л/х2 + у2 і г одержимо рівняння

яке задовольняє координати довільної точки М(х; у; х) поверх­ні обертання. Отже, рівняння (87) є рівнянням поверхні обер­тання відносно осі Ох лінії Ь, що визначається рівнянням (86). Очевидно, що рівняння (87) одержується з другого рівняння системи (86) заміною координат У і Z координатами х, у і х за формулами

Зауваження 2. Вище розглянуто випадок, коли крива Ь задана в площині Оуг і обертається відносно осі Ог. Очевидно, що крива Ь може лежати і в іншій координатній площині та обертатися відносно іншої координатної осі.

Приклад 2. Знайти рівняння поверхні обертання еліпса

відносно осі Ог.

У 2     2 2

А Записавши рівняння еліпса у вигляді —2- +2~ = 1 і замінюючи

а2 с2

за формулами (88) У і 2 змінними координатами х, у і г поверхні обертання, дістанемо шукане рівняння

Я (±л/ х2 + у2 ,х) = 0,

(87)

У = ±\/х2 + у2, Z = х.

(88)

1,

у+у2 )2 х2

2 + 2

а2 с2

206

9 9 9

X у9 X9

--V +--= 1

а9     а9 с9

Одержана поверхня називається еліпсоїдом обертання. ► 5.5. Еліпсоїд. Поверхня, яка визначається рівнянням

X2      V2 X2

--+ -—І--= 1,

а2    Ь2    с2 '

називається еліпсоїдом. Числа а, Ь і с називаються півося­ми еліпсоїда. Оскільки в рівняння змінні координати входять у парних степенях, то еліпсоїд симетричний відносно коорди­натних площин. Для того щоб визначити форму еліпсоїда, пе­реріжемо його площинами, паралельними координатним пло­щинам.

Якщо перерізати еліпсоїд площиною X = Н (\Н\ < с), то одержимо еліпс Ь. Справді, виключаючи з рівнянь

( х = Н,

<  х2    у2    х2 і І а2    Ь2 с2

змінну х, дістанемо рівняння циліндричної поверхні, яка про­ектує переріз Ь на площину Оху:

х2    у2 Н2

--+ — = 1--

а2    Ь2 с2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія