В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 67

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

207х2        +        У2        = 1

Звідси одержуємо, що із зростанням \Н\ півосі еліпса аі і Ьі зменшуються. При \Н\ = с маємо, що а і = 0, Ьі = 0 і переріз вироджується в точку. При \Н\ > с еліпсоїд з площиною X = Н не має спільних точок. Аналогічно можна довести, що при перерізі еліпсоїда площинами х = Н (\Н\ < а) і у = Н (\Н\ < Ь) так само матимемо еліпси.

Із загального рівняння еліпсоїда при а = Ь маємо еліпсоїд обертання

х2    у2 X2

--+ — +--= 1.

а2    а2 с2

Наприклад, в геодезії вважають, що поверхня Землі є еліпсої­дом обертання з півосями а = Ь = 6377 км і с = 6356 км.

Якщо а = Ь = с, то еліпсоїд перетворюється в сферу х2 + у2 + X2 = а2.

5.6. Гіперболоїди. Поверхня, яка визначається рівнян­ням

х2     у2 X2

--+----= 1

а2    Ь2 с2

називається однопорожнинним гіперболоїдом. Координат­ні площини є площинами симетрії цієї поверхні, оскільки змінні координати х, у і X входять в рівняння у парних степенях.

Переріз однопорожнинного гіперболоїда площиною у = 0 визначає гіперболу

{х2     X2 і а2     с2 ' у 0.

Аналогічно, в перерізі однопорожнинного гіперболоїда пло­щиною х    0 дістанемо гіперболу

і у___ X2 = л

\   Ь2    с2 '

х = 0,

208яка лежить в площині Oуx.

209

її2 К2 Півосі цього еліпса а\ = а у 1 +—^, Ьі = Ьу 1 +—^ зростають із

зростанням абсолютної величини К. При К = 0 дістанемо еліпс, який лежить в площині Оху і має найменші півосі а і Ь.

При а = Ь дістанемо однопорожнинний гіперболоїд обертання

х2 + у2 X2

1.

а2 с2

При перерізі його площинами X = К одержуємо еліпси.

У попередніх пунктах розглядалися циліндричні та конічні поверхні, кожна з яких складена з прямих. Виявляється, що однопорожнинний гіперболоїд можна розглядати як поверх­ню, що складена також з прямих ліній. Розглянемо пряму, яка визначається рівняннями

+ - = к 1 + у

а с V Ь / (по) а    с    /А Ь/

де а, Ь і с - півосі однопорожнинного гіперболоїда, а к = 0 -довільне число. Якщо перемножити почленно ці рівняння, то дістанемо

х2    -2 =1    у2     б    х2 + у2    -2 =1 а2     с2 Ь2 а2     Ь2 с2

тобто рівняння однопорожнинного гіперболоїда. Це означає, що координати будь-якої точки М(х; у; які задовольняють рівняння прямої (90), задовольняють так само рівняння одно­порожнинного гіперболоїда. Іншими словами, всі точки прямої (90) належать так само і гіперболоїду (89). Якщо змінювати к у (90), то одержимо сім'ю прямих, які лежать на поверхні (89). Аналогічно можна довести, що однопорожнинному гіперболої­ду належать всі прямі сім'ї

х    -       ( у

- + - = т 1 ас       V Ь

х    -     1 / у

- = -\1 + т

с    т Ь

т

1

1

/

 

1

т

V

210де т - довільний параметр, відмінний від нуля.

Можна довести, що через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходить по одній прямій з кожної із вказаних сімей. Отже, однопорожнинний гіперболоїд можна розглядати як поверхню, що складається з прямих. Ці прямі називають прямолінійними твірними однопорожнинного гіперболоїда.

Поверхня, яка визначається рівнянням

- + У-~ - = -1 (91) а2 + Ь2    с2       1 ( )

називається двопорожнинним гіперболоїдом. Оскільки змінні х, у і г входять в рівняння у парних степенях, то коор­динатні площини є площинами симетрії для двопорожнинного гіперболоїда. Якщо розглянути переріз цієї поверхні коорди­натними площинам Охг і Оуг, то одержимо гіперболи

г2    х2     і ( г2    у2 і

с2    а2          і   с2    Ь2 ' у = 0 і х = 0.

Якщо двопорожнинний гіперболоїд перетнути площиною г = Н (\Н\ > с), то в перерізі одержимо еліпс

х2    у2    Н2 і

а2    Ь2 с2

г=Н

■ н2     . Н2 .

з півосями аі = —2 1 і Ьі = Ь—2 1, які зростають із

зростанням \Н\. При \Н\ < с поверхня з площиною г = Н не пе­ретинається. Двопорожнинний гіперболоїд складається з двох окремих частин (порожнин), від цього й пішла його назва. При а = Ь рівняння (91) має вигляд

х2 + у2    г2 =   1   або   г2    х2 + у2 = 1

211і є рівнянням двопорожнинного гіперболоїда обертання. У пе­рерізі останнього площиною г = Н (\Н\ > с) одержимо коло

радіуса Я = Ь

5.7. Параболоїди. Еліптичним параболоїдом нази­вається поверхня, яка визначається рівнянням

2г = + у-, (92) Р Я

за умови, що р і д мають однакові знаки. Надалі для визначе­ності вважатимемо, що р > 0, д > 0.

При перерізі еліптичного параболоїда координатними пло­щинами Охг і О г матимемо відповідні параболи

х2 ( у2

г = 2Р'     і    і  г =2д'

у = 0 х = 0

212а при перерізі площиною г = к (к> 0) - еліпс

{  2рк    2дк ' [ г = к

з півосями а = \Z2ph, Ь = \j2qh. У випадку р = д дістанемо параболоїд обертання

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія