В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 68

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

2рг = х2 + у2.

х

Оскільки х і у входять в рівняння еліптичного параболоїда в парних степенях, то еліптичний параболоїд має дві площини симетрії Охг і Оуг.

Гіперболічним параболоїдом називається поверхня, яка визначається рівнянням

2г = — - У-' (93)

рд

за умови, що р і д мають однакові знаки, наприклад, р > 0, д> 0.

Якщо перерізати цю поверхню координатними площинами Охг і Оуг, то ми дістанемо параболи

х2 = 2рг'    і     у2 = -2дг'

= 0 \ х = 0.

213

Якщо ж перерізати гіперболічний параболоїд площиною г = Н, то дістанемо гіперболи

І г = Н, Н> 0

і пару прямих

Вправи

1. Знайти півосі еліпсоїда х2 + 2у2 + 3г2 = 4.

2 2

2. Знайти півосі еліпса, утвореного перерізом еліпсоїда--1---+

36 9

г2

— = 1 площиною х = 3.

4

3. Знайти координати центра і радіус сфери, яка задана рівнян­ням х2 + у2 + г2 — х + 2у +1 = 0.

214

4. Скласти рівняння сфери, яка проходить через точки Мі(1;2; —4), М2(1; — 3; 1) і М3(2;2;3), якщо її центр знаходиться в площині Оху.

5. Скласти рівняння конічної поверхні, вершиною якої є точка

2 2

х2 у2

Мо(0;0; 1), а напрямною - еліпс--1--= 1, г = 3.

25 9

6. Знайти рівняння поверхні, яка одержується при обертанні пря­мої х + 2у = 4, г = 0 навколо осі Ох.

7. Знайти рівняння еліптичного параболоїда, який має вершину в початку координат, віссю якого є вісь Ог, якщо на його поверхні задано дві точки М1( —1; —2; 2) і М2(1; 1; 1).

8. Знайти рівняння поверхні, утвореної обертанням: 1) еліпса

2 2 2 2

х2        у2 г2 у2

--1--= 1, г = 0 навколо осі Ох; 2) гіперболи---= 1, х = 0

9      4.' 1 41'

навколо осі Ог.

р, Ь = 73. 3. С^1; 1;0^ ,

Відповіді

2 3л/3

1. а = 2, Ь = лД с = -=. 2. а = -2_, Ь = лД. 3. С( ^; 1;0

32

Я = 11. 4. (х + 2)2 + (у 1)2 + г2 = 26. 5. + У 1)2 = 0.

222

6. 4у2 + 4г2 4)2 =0. 7. 3г = 2х2 + у2. 8. 1) ^ + ^ +     = 1;

944

222

2    у2 г2

2)---— + — = 1.

'     1 14

215

Розділ 5.

Елементи лінійного програмування

У багатьох прикладних задачах виникають ситуації, коли досягнути певної мети можна не одним, а багатьма різними способами, і для прийняття обгрунтованого рішення необхідно опрацювати велику кількість інформації. Очевидно, що це рі­шення повинно бути найкращим. Математично задачі такого типу, а це в основному задачі управління і планування, зво­дяться до знаходження найбільшого або найменшого значення деякої функції / = /(х\,Х2,..., хп), яка називається цільовою функцією або функцією мети:

/ = /і2,...,Хп) шах(шіп). (1)

При цьому змінні хі, Х2, ..хп визначені в певній області 0 С Мп, яка описується нерівностями:

Г і2, ...,хп) < Ьі,

I   g2(x1,x2, ...,хп) < Ь2, (2)

t gm(xi,X2, ...,Xn) < Ьт,

де gi, g2,        gm - відомі функції, а bi, bm - дійс-

ні числа. Нерівності (2) називаються обмеженнями задачь До числа обмежень задачі, як правило, входить також умова невід'ємності змінних:

х3 > 0,   j Є{1,...,п}. (3)

Нагадаємо, що функція f (xi,X2,... ,xn) має найбіль­ше   (найменше)   значення   в   Q,   якщо   існує   така точка

?5 х2; ... ; xXn)   Є   Q   що  f 1> X2' . . . , xXn)   >   f 1' x2, . . . , xn)

(f (х?,х0, ...,х°п) < f (Xi,X2,.. .,Xn)) для всіх і; X2;...; Xn) Є Q,  при  цьому найбільшим значенням  max f  в області Q

(найменшим min f) є max f   =   f (х^х0,... ,хП)  (min f =

f(X0 X0 X0))

J \x1, x2, . . . , Xn) )•

216

Задачі типу (1), (2), (3) називають задачами математич­ного програмування.

Вигляд функцій /, ді, д2, ..дт визначає тип задачі ма­тематичного програмування. Найпростішим і таким, що часто зустрічається є випадок, коли всі ці функції є лінійними. Таку задачу називають лінійною задачею математичного програ­мування. Для розв'язування цих задач розроблені ефективні методи, одним із яких є симплексний метод. Якщо ж при­наймні одна з функцій /, ді, д2, ..дт є нелінійною, то задача (1), (2), (3) називається задачею нелінійного програмуван­ня. На сьогодні відсутні загальні й достатньо ефективні мето­ди розв'язування задач нелінійного програмування. Лише для певного класу нелінійних задач розроблені достатньо ефектив­ні методи.

§1. Постановка задачі лінійного програмування

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія