В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 7

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Кут а знаходимо, скориставшись поняттям скалярного до­бутку векторів i тим, що, з одного боку, ОАі • ОА2 = r2 cos а, а з другого боку,

ОАі • ОА2 = Х1Х2 + У1У2 + Z1Z2,

бо ОАІ = (хі; уі; zi), ОАІ =

2; У2; Z2), де Xk, yk, Zk, к є {1,2}, визначаються за формулами (9). Тому

r2 cos а = r2 cos р1 cos р2 sin 91 sin 92+r2 sin p1 sin p2 sin 91 sin 92+

+r2 cos 91 cos 92'

Звідси випливає, що

cos а = cos 91 cos 92 + sin 91 sin 92 cos(p1 ip2)

або

а = arccos(cos 91 cos 92 + sin 91 sin 92 cos(p1 p>2))

26

Тоді

nr

l = 18О° arccos(cos О1 cos О2 + sin О1 sin О2 cos(p1 - p2)).

Наприклад, для Києва Oi = З9, Т0, pi = ЗО, Б0, а для Берліна О2 = ЗТ, Б0, p2 = ІЗ0. Тому

l = ^186З0ТТ arccos(cos З9, Т0 cos ЗТ, Б0+

+ sin39, Т0 sh^, Б0 cos 16, Б0) и 1169. Отже, відстань між Києвом і Берліном дорівнює 1169 км.

Вправи

1. Побудувати точку за її полярними координатами: а) ^О); б) B(2; п); в) C(З; f); г) D(1;п); д) E(2; f).

2. Які прямокутні координати має точка, що задана за допомо­гою полярних координат:

а) ^Б;О); б) B(6; |); в) C(2; f); г) D(4; -f)?

3. За відомими декартовими координатами точки M знайти її полярні координати:

а) A(2; 2); б) B^; 1) , в) C(-З; О), г) D(1; -лД).

4. Написати в полярних координатах рівняння лінії, заданої в прямокутних координатах:

а) x = 1; б) y = -2; в) y = x; г) y = 2x; д) x2 + y2 = 2Б.

5. Рівняння кривої в полярних координатах має вигляд r = a cos p. Написати рівняння цієї кривої в прямокутних координатах і з'ясувати, якою є ця крива.

6. Знайти сферичні координати точок A(8; 4; 1), B(-2; -2; -1), C(О; -4; З), D(1; -1;-1); Е(О;1;О).

Т. Знайти сферичні координати точки M, якщо промінь OM утворює з осями Ox i Oy кути, відповідно рівні п і 3, а третя коор­дината точки z = - 1 .

8. Знайти декартові координати точки, що лежить на кулі радіу­са 1, знаючи її широту О = 4Б0 i довготу p = ЗЗО0.

9. Знайти циліндричні координати точок за їх декартовими ко­ординатами A( ; 4; Б), B(1; -1; -1), C(-6; О; 8).

10. Знайти циліндричні координати точки M, знаючи, що про­мінь OM утворює з осями координат кути 6О0, 6О0 і 1 Б0, а довжина відрізка OM дорівнює 1.

27

2. а) А(5;0); б) В(3л/2; 3л/3); в) С(0;2); г) £(-2л/2; -2л/3). 3. а) А(2л/2; 4); б) В( 2; |); в) С(3;п); г) £>(2; 51). 4. а) г = ^; б) г = -^ї2^;   в) р = 4   або   р    =     51;   г) tg р = 2;   д) г = 5.

5. ж2 + у2 = аж;   коло   з   центром   в   точці   (|;0),   радіуса   Щ-.

6. А(9;агС^ 2;агссов 1);   В(3; 51; п агссов 1);   С(5; Щ^-;агссов 3);

£(лД 71; п - агссоє ^); £7(1; п; п). 7. М(2; агС« &; 21). 8. (^; ; 4). 9. А(5;ап^ Щ ;5); В Д 71; -1); С (6; п;8). 10. М; п;-4?).

28

Розділ 2 Основи лінійної алгебри

У цьому розділі розглянемо деякі поняття лінійної алгебри, зокрема, визначники та їхні властивості, розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, матриці та дії над матрицями. Крім того, наведемо приклади застосування цих понять у різ­них галузях знань.

§1. Елементи теорії визначників

1.1. Визначники другого й третього порядків.

Нехай задано таблицю (матрицю), яка складається з чотирьох дійсних чисел:

І ац аіг \ (і) V а2і   а22 / '

Матриця має два рядки і два стовпчики. її називають матри­цею другого порядку, а числа ац, аі2, а, а22 - її елемента­ми. Елементи прийнято позначати літерою з двома індексами. Перший індекс вказує номер рядка, а другий - номер стовпчи­ка, на перетині яких знаходиться даний елемент.

Визначником (детермінантом) другого порядку, що

відповідає матриці (1),

позначають символом називають число (іп(і22 аіі аі2 а2і а22

ааі2, яке

. Отже,

аіі аі2 а2і а22 аца22 ааі2.

(2)

Числа ац, а\2, агь а22 називаються елементами визнач­ника.

Множини елементів з однаковим першим індексом назива­ють рядками, а з однаковим другим індексом - стовпчиками визначника, тобто елементи, розміщені на горизонталях, утво­рюють рядки, а на вертикалях - стовпчики визначника. Діаго­наль, яка утворена елементами ац, а22 називається головною, а діагональ, яка утворена елементами а\2- побічною.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія