В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 8

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

29

Визначником третього порядку, що відповідає матриці

ац аіг аіз

й2і а22 а

азі аз2 азз

називається число, що дорівнює алгебраїчній сумі аца22азз + ааз2аіз + аі2аазі - азі а22аіз - ааі2азз - аз2ааіі, яке по­значають символом

аіі аі2 аіз

а а

азі аз2 азз

Отже, аіі   аі2 аіз ааазі   аз2 азз

Оц022033 + ^21^32^13 + 012^23^31 —

(3)

Поняття елементів, рядків, стовпчиків, діагоналей, введені для визначників другого порядку, правильні й для визначників третього порядку.

Існують декілька правил обчислення визначників третього

порядку.

1) Правило трикутників. У формулі (3) три перші додан­ки визначника третього порядку є добутками елементів голов­ної діагоналі та елементів, розміщених у вершинах двох рівно-бедрених трикутників, основи яких паралельні головній діаго­налі. Для трьох інших добутків, які беруться у формулі (3) зі знаком "— використовується таке саме правило, тільки береть­ся не головна, а побічна діагональ.

2) Правило Сарруса. За цим правилом складаємо матри­цю (таблицю), для якої обчислюватимемо визначник. Справа

30від неї записуємо її перший і другий стовпчики. В основній таблиці проводимо головну діагональ і дві прямі, їй паралель­ні, що містять по три елементи. Добутки елементів, розміще­них на зазначених трьох прямих, є трьома членами визначни­ка, що беруться зі своїми знаками. Щоб обчислити три інші члени визначника, проводимо побічну діагональ і дві прямі, їй паралельні, що містять по три елементи. Добутки цих елемен­тів беруться з протилежним знаком. Схематично це правило зображено на рисунку

1 +   1+ 2+

Приклад 1. Обчислити визначник Д

3

Приклад 2. Обчислити визначник Д

-4

•4 Згідно з формулою (2) Д = 2 • (-4) - 3 -5 = -8 - 15 = -23. ►

2   3 -4 5   6 7 8   0 3

Скористаємося правилом трикутника обчислення визначника третього порядку: Д = 2-6-3+5-0-(-4)+3-7-8-8-6-(-4)-0-7-2-3-5-3 36 + 168 + 192 - 45 = 351. ►

Приклад 3. За допомогою правила Сарруса обчислити визнач­' 2    1      1 '

Д

1

2 -3   1 |

2   1    1   2 1

Маємо таблицю j  3    Б    -1   3    Б    1 . Тоді Д = 2 Б 1 + 1

2 -3   1   2 -3

(-1)-2+1-3 (-3) - 2 Б4-(-3И-1>2-Ь3 1 = 10 - 2-9-10 - 6-3

-20. ►

Розглянемо властивості визначників. Ці властивості пра­вильні для визначників будь-якого порядку.

Властивість 1. Величина визначника не зміниться, якщо його рядки помїняти мїсцями з вїдповїдними стовпчиками,

ник

31тобто

ап аі2 аіз 0,21    а22 а

аз і   аз2 азз аіі а2і а і аі2 а22 а 2 аі    а2 а

(4)

А Доведення випливає безпосередньо з означення визнач­ника, якщо застосувати його до правої і лівої частин рівності (4).

Операція заміни рядків стовпчиками, а стовпчиків рядками з однаковими номерами називається транспонуванням. От­же, при транспонуванні значення визначника не змінюється.

З цієї властивості випливає, що рядки та стовпчики визнач­ника рівноправні, тобто всі властивості, встановлені для ряд­ків, правильні й для стовпчиків, і навпаки. Надалі всі власти­вості можна формулювати і доводити тільки для рядків або стовпчиків.

Властив^ть 2. При перестановці двох рядків (стовпчи­ків) визначник зберігає абсолютну величину і змінює знак на протилежний.

А Доведення випливає з означення визначника.

Властив^ть 3. Визначник з двома однаковими рядками (стовпчиками) дорівнює нулю.

А Поміняємо місцями два однакових рядки визначника. То­ді, з одного боку, визначник А не зміниться, а з іншого - згідно з властивістю 2, знак його зміниться на протилежний. Отже, А = -А, звідки 2А = 0, тобто А = 0.

Введемо поняття мшора й алгебраїчного доповнення елемента визначника.

аіі   аі2 аі

Нехай

є визначник

А

Викреслимо

а2і   а22 а2 а і   а 2 а

ньому г-й рядок і і-й стовпчик, на перетині яких розміще­но елемент агу. Внаслідок цього одержимо визначник другого порядку, який називається мінором, що відповідає елементу у визначнику А, і позначається символом Му. Наприклад,

Мі2

_

а

0

, Мз і =

аі2

аіз

 

а і

азз

 

а22

0

32

Алгебраїчним доповненням елемента визнач­ника А називається мінор Му, взятий зі своїм знаком, якщо сума номерів рядка і стовпчика, на перетині яких розміщений елемент агу, парна, і зі знаком мінус, якщо ця сума непарна.

Залежність між мінором Му й алгебраїчним доповненням Агу виражається співвідношенням

де г - номер рядка, і - номер стовпчика, на перетині яких зна­ходиться елемент агу.

і

аіі аі2 азі аз2

Аіі = Ми = Ми,  Аі2 = (-1)і+2Мі2 = і2.

Властивість 4. Розклад визначника за елементами рядка (стовпчика). Визначник дорівнює сумі попарних до­бутків елементів будь-якого з його рядків (стовпчиків) на їх­ні алгебраїчні доповнення. Сума попарних добутків елементів будь-якого рядка (стовпчика) на алгебраїчні доповнення еле­ментів іншого рядка (стовпчика), дорівнює нулю.

А Запишемо формулу (3) у вигляді

Наприклад, А= (-1)2+зМ=

А

аіі аі2 аіз а2і а22 а2з азі   аз2 азз аіі(а22азз - аз2а2з)-

-0і2(02і0зз - 0зі02з) + 0із(02і0з2 - 0зі022)

аіі

і2

а2і а2з азі азз

+ аіз

а2і а22 азі аз2

аіі(-1)і+і

а22 а2з

аз2 азз

а22 а2з

аз2 азз +

і2(-1)

Отже,

і+2 а2і а2з азі азз + аіз(-1)і+з

а2і а22 азі аз2

= аііАіі + аі2Аі2 + аізАіз.

А = аііАіі + аі2Аі2 + аізАіз. (5)

Формулу (5) називають розкладом визначника за еле­ментами першого рядка. Визначник можна розкладати за елементами інших рядків, а також стовпчиків.

33

Для доведення другої половини властивості 4 розглянемо визначник

ац аі2 аіз азі аз2 азз азі   аз2 азз

А'

утворений з визначника А заміною другого рядка третім ряд­ком. Згідно з властивістю 3 визначник А' дорівнює нулю. Ал­гебраїчні доповнення будь-якого з елементів другого рядка не залежать від елементів цього рядка, оскільки вони викреслю­ються при утворенні алгебраїчних доповнень. Тому алгебраїчні доповнення відповідних елементів другого рядка визначників А і А' збігаються. Розклавши визначник А' за елементами його другого рядка, матимемо

А' = азі^2і + аз2^22 + аззУІ 0.

Аналогічно можна розглянути й інші варіанти.

Властивість 5. Якщо всі елементи деякого рядка (стовп­чика) визначника доргвнюють нулю, то такий визначник доргвнюе нулю.

А Нехай усі елементи деякого рядка (стовпчика) дорівно-ють нулю. Розклавши визначник за елементами цього ряд­ка (стовпчика), дістаємо суму нулів, а отже, і сам визначник дорівнює нулю.

Властивість 6. Множник, спгльний для всгх елементгв де­якого рядка (стовпчика), можна винести за знак визначника.

А Нехай, наприклад, усі елементи другого рядка мають спільний множник А

А' аіі     аі2 аіз Аа2і   Аа22 Аа2з азі     аз2 азз

Розклавши визначник А' за елементами 2-го рядка, дістанемо А' = Аа2і^2і + Аа22^22 + Аа2з^2з = А(а2і^2і + а22 А22 + а2з^2з)-

34

Вираз у дужках є визначником

 

аи

аі2

аіз

А =

 

 

 

 

азі

аз2

азз

а тому

А' = ЛА.

Властивість 7. Якщо всі елементи деякого рядка (стовп­чика) визначника А є сумою двох доданків, то й сам визнач­ник дорівнює сумі двох визначників А і і А2. У визначнику А і вказаний рядок (стовпчик) складається з перших доданків, а у А2 - з других доданків. Решта рядків (стовпчиків) визнач­ників Аі і А2 - ті самі, що й в А.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія