В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 9

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

А Доведемо, наприклад, рівність

Ьіі + Си    Ьі2 + С12    Ьіз + Сіз

аа22 а

азі аз2 азз

Ьіі Ьі2 Ьіз а2і а22 а2з азі   аз2 азз +

+

Сіі  Сі2 Сіз

а2і а22 а2з азі   аз2 азз

Розкладемо визначник зліва за першим рядком. Тоді одержимо суму

іі + Сц)Лц + (Ьі2 + Сі2 і2 + (Ьіз + Сізіз,

або після розкриття дужок,

ііАіі + Ьі2Аі2 + ЬізАіз) + (сііАіі + Сі2^і2 + сізАіз).

Перша з цих сум дорівнює першому з визначників справа, а друга сума дорівнює другому визначнику. ►

Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до одного з рядків (стовпчиків) додати інший рядок (стовпчик), помно­жений на довільне число.

35

А Доведемо, що

ац + Аа,2і   аі2 + Аа22   оіз + Аааа22 а

азі аз2 азз аіі аі2 аіз а2і а22 а2з азі   аз2 азз

Для цього застосуємо до визначника, розміщеного зліва, властивість 7. Тоді одержимо, що цей визначник дорівнює

аіі аі2 аіз а2і а22 а2з азі   аз2 азз

+

Аа2і   Аа22 Аа2з а2і     а22 а2з азі     аз2 азз

Другий з цих визначників дорівнює нулю, оскільки, після винесення за знак визначника спільного множника А елементів першого рядка, одержується визначник з двома однаковими рядками. ►

1.2. Поняття про визначники вищих порядків.

Властивість розкладу визначника за елементами рядка (стовп­чика) дає можливість за аналогією ввести поняття визначника п-го порядку.

Нехай є таблиця (матриця) складена з п2 чисел

аіі аі2

а2і    а22     ■■■ а2п (6)

Визначником п-го порядку, що відповідає матриці (6), є число, яке дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпчика) на їхні алгебраїчні доповнення.

Позначається визначник п-го порядку символом

аіі аі2 а2і а22

апі ап2

аіп а2п

апп

36

Згідно з означенням

ап аі2

а21 а22 аіга а2п

ап1 ап2

апп

ацЛц + аі2Аі2 + ... + аіпАіп,   і є [1,п}

(7)

або

а11 а12 а21 а22

ап1 ап2

а1п а2п

апп

+ Л2^- + ... + ащ,   і є [1,п}.

(8)

Формула (7) дає розклад визначника за елементами і-го рядка, а формула (8) - за елементами і-го стовпчика. При цьому, якщо деякі елементи рядка або стовпчика, за якими розкладається визначник, дорівнюють нулю, то доданки, що відповідають цим елементам у розкладі визначника, випада­ють. Тому доцільно розкладати визначник за тими рядками або стовпчиками, які містять найбільшу кількість нулів. Згідно з властивістю 8 можна накопичувати нулі в будь-якому рядку або стовпчику визначника.

Приклад 4. Обчислити визначник

Д 10 0 0 2 3 5 7 0 14 6 8   0 12

а Розкладемо даний визначник за елементами першого рядка

357

Д = 1 •

146 012 24 + 7 + 0 - 0 - 18 - 10 = 3. ►

37

Приклад 5. Обчислити визначник

1

2

3

4

2

1

2

3

3

2

1

2

4

3

2

1

д

а Перетворимо спочатку визначник так, щоб у першому рядку всі елементи, крім одного, дорівнювали нулю. Для цього послідовно помножимо перший стовпчик на —2, —3, —4, і додамо відповідно до другого, третього і четвертого стовпчиків. Дістанемо визначник

д

який розкладемо за елементами першого рядка

1

0

0

0

2

—3

—4

—5

3

—4

—8

— 10

4

—5

—10

— 15

д 1 (—

3 —4 —5

4 —8 —10

5 10 15 —4 —8 10

5

10

15

Помножимо перший рядок останнього визначника послідовно на —2 та на —3 і додамо до другого і третього рядків. Матимемо

д

Розклавши цей визначник за елементами другого рядка, знайде-

Д = 2 • ( —1)2+1 -2 • 10 = -20. ►

мо

Вправи

1. Обчислити визначник:

1) 2

1 2) а + Ь а — Ь 3)

1

х1 + х +1

1

х

38


 

3

-2

1

 

2

-1

3

 

0

а

а

4)

-2

1

3

; 5)

-2

3

2

; 6)

а

0

а

 

2

0

-2

 

0

2

5

 

а

а

0

7)

1)

2   0 5

1 3 16 0 -1 10

2. Розв'язати рівняння

2 х - 4

14

= 0; 2) о нерівність

3х - 3 2

х1

> 0; 3)

3х

2х < 14;

4)

6) 3х -1

х 2х 3

х- 3

0 0

1

х+1 0

3

~ 2;

0 0

х+3 5) 1

2

8х

0; 7)

11

5 - х 2 33

2   х + 2

11

53

= 0;

-1 2

> 0.

3. Обчислити визначник, розклавши за елементами будь-якого рядка або стовпчика:

1)

2

0

0

 

1   17 -7

 

1

2

4

1

3

7

; 2)

-1 13 1

; 3)

-2

1

-3

5

6

4

 

171

 

3

-4

2

4)

6)

2

2

11

5

1

1

5

2

2

-3

3

2

1

-3

3

4

3

5

7

2

1

2

3

4

-2

-3

3

2

1

3

5

4

5)

2 3 11 5

115 2

-3 1  3 2

3 1  3 4

7)

1

2

0

0

0

3

2

3

0

0

0

4

3

4

0

0

0

5

4

5

0

0

0

6

5

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія