С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

Навчально-методичне видання

Поліщук Зоя Петрівна Федьович Микола Васильович Харченко Марія Миколаївна

ЗАДАЧІ ФІЗИЧНОГО ЗМІСТУ ПРИ ВИВЧЕННІ МАТЕМАТИКИ В ЗАГАЛЬНООСВІТНІЙ ШКОЛІ

Навчально-методичний посібник

Надруковано із оригінал-макета авторів

Зам._від_,_від_2007.

Формат 60х90/16. Ум. друк. арк.. 6,5. Обл.. вид. арк.. 13,5. Друк різографічний. Наклад_.

Видавництво Житомирського державного університету імені

Івана Франка

ЖТ №_від_.

м. Житомир, вул.. Велика Бердичівська, 40 електронна пошта (E-mail) : zu@zu.edu.u

Фізика і математика завжди допомагали одна одній, і розвиток їх часто нероздільний.

С. І. Вавилов

В С Т У П

Однією з умов підвищення ефективності навчального процесу та вдосконалення якості знань учнів є встановлення та реалізація міжпредметних зв'язків у процесі викладання предметів, зокрема математики та фізики.

Вивчення математики та інших природничих і технічних дисциплін відбувається паралельно, вони доповнюють одна одну. Учні повинні вивчати математику не як окремий предмет, а у взаємозв'язку з іншими предметами природничого циклу. Це дає можливість:

- значно розширити світогляд учнів;

- поглибити знання та підвищити їх якість;

- допомогти учням краще зрозуміти практичну значимість матеріалу, що вивчається;

- зацікавити учнів фізико-математичними дисциплінами. Часто ж знання з одного предмета використовуються під час

викладання іншого цілеспрямовано, з метою показати практичне застосування матеріалу й активізувати пізнавальну діяльність учнів.

Мета цієї роботи розглянути деякі питання взаємозв'язку фізики і математики, вказати вчителеві фізики на деякі можливості, що їх дає нова програма, підручники та навчальні посібники з математики.

Проблема міжпредметних зв'язків у навчально-виховному процесі сучасної школи є дуже важливою. Від успішного її розв'язання багато в чому залежить підвищення ефективності навчання і виховання учнів. У школі учень має засвоїти систему знань не тільки з даного предмета, а й пізнати зв'язки даного предмета з іншими. При цьому міжпредметні зв'язки повинні відбивати об'єктивно існуючі зв'язки між науками про природу й суспільство.

Проблему міжпредметних зв'язків слід розглядати насамперед у плані формування світогляду учнів на основі філософськогоузагальнення знань, що їх здобувають вони при вивченні суміжних дисциплін. Маючи це на увазі, „кожний педагог, формуючи світогляд учнів, повинен об'єднати зусилля із зусиллями інших вчителів, насамперед при введені і розвитку таких загальних фундаментальних понять науки, як матерія, час, простір, рух, розвиток тощо. Формування таких понять - це основна лінія викладання основ наук. Інша можливість - розгляд з учнями методологічних проблем науки, зокрема концепції теорії пізнання, що можна успішно здійснювати при вивченні і фізики, і хімії, і математики, і біології.

Кожна шкільна дисципліна має свою специфіку реалізації міжпредметних зв'язків. Так, курс математики озброює учнів кількісними методами та прийомами опису явищ, що вивчаються в курсах фізики, хімії, біології тощо. Завдання викладачів суміжних дисциплін полягає в тому, щоб повною мірою використати на своїх уроках весь арсенал математичних знань учнів.

Реалізація принципу міжпредметних зв'язків — один з основних резервів подальшого вдосконалення навчально-виховного процесу в школі, оскільки це сприяє систематизації знань учнів, забезпечує формування світогляду, «підвищує ефективність навчання і виховання, забезпечує наскрізне застосування й закріплення знань, умінь і навичок, що їх набули учні на уроках з різних предметів. Нарешті, реалізація міжпредметних зв'язків дає змогу підвищити ефективність (одночасно сприяє полегшенню) роботи самих школярів. Усім цим і зумовлена виняткова важливість і актуальність проблеми міжпредметних зв'язків у навчально-виховному процесі».

Застосування нової математичної символіки у фізиці в багатьох випадках дає змогу записати умову задачі і її розв'язання коротше. Привчаючи учнів правильно користуватися математичною символікою, можна досягти також певного виховного ефекту: виробити звичку до точності й лаконічності в письмовій та усній мові. Так, використання нових символів при розв'язуванні задач на побудову зображень у тонких лінзах, сферичних і плоских дзеркалах допомагає зробити пояснення символічними.

Тепер у школі вивчають основи сучасної математики з її новими ідеями, математичним апаратом, сучасною термінологією та символікою. Тому вчитель фізики повинен докладно ознайомитися із змістом програми з математики, підручниками й навчальними посібниками з математики, обов'язково знати сучасну термінологію ісимволіку для того, щоб використовувати міжпредметні зв'язки для формування в учнів міцних і глибоких знань з фізики.

І. АЛГЕБРА

1.ПРЯМА ТА ОБЕРНЕНА ПРОПОРЦІЙНІ ЗАЛЕЖНОСТІ

Задачі цього типу викликають певні труднощі в учнів. Їх розв'язування слід розпочати з визначення коефіцієнта пропорційності.

Задача 1.

Відстань між Києвом і Тернополем дорівнює 360 км. Яка відстань між цими містами на карті з масштабом 1:5000000?

Розв'язання:

Оскільки масштаб карти 1:5000000, 1 см на карті відповідає 5000000 см=50 км на місцевості. Нехай відстань між Києвом і Тернополем на карті дорівнює х см. Тоді:

1 см — 50 км; х см — 360 км.

Відстань на місцевості прямо пропорційна відстані на карті.

_,      1    50      .          1 см ■ 360км  _ _ Тому — =-, звідки х =-—— = 7,2 см.

х   360 50 км

Відповідь: відстань між містами на карті 1,7 см.

Задача 2.

Відстань на карті між двома містами дорівнює 23 см. Яка відстань між цими містами на місцевості, якщо карта має масштаб

1:2000000?

Розв' язання:

Оскільки масштаб карти 1:2000000, 1 см на карті відповідає 2000000 см=20 км. Нехай відстань між цими містами на місцевості дорівнює х км:

1 см — 20 км;

23 см х км.

1:23=20:х;

23сМ^ 20 км

х=-,-=460км.

1см

Відповідь: відстань між містами на місцевості 460 км.

Задача 3.

Відстань між двома містами на місцевості дорівнює 360 км. Яка відстань між ними на карті, що має масштаб 1:8000000?

Оскільки масштаб карти 1:8000000, 1 см на карті відповідає 8000000 см=80 км. Нехай відстань між містами на карті дорівнює х

км:

1 см — 80 км;

х см — 360 км.

1:х=80:360;

360 км ■ 1 см

х =-= 4,5 см.

80 км

Відповідь: відстань між двома містами на карті 4,5 см.

Задача 4.

Відстань між двома пунктами на місцевості дорівнює 195 км, а на карті — 6,5 см. Знайдіть масштаб карти.

Розв' язання:

195 км=195000000см.

лл  195000000см  1950000000рм оппппппп

М=-—-=-^     =30000000.

6,5 см 65 рЖ

Відповідь: масштаб карти 1:30000000.

Задача 5.

Сплав складається з міді, цинку і нікелю, маси яких відносяться як 13:3:4. Знайти масу сплаву, якщо для його виготовлення використали 1,8 кг цинку. (Відношення 13:3:4 означає, що у сплаві на мідь припадає 13 частин, на цинк — 3 таких же за масою частини т на нікель — 4 частини.)

Розв' язання:

Сплав складається з 13+3+4=20 частин, з яких на цинк припадає

3 частини. Нехай маса сплаву дорівнює х кг. Тоді:

20 частин — х кг;

3 частини — 1,8 кг.

За сталої частини кількість частин та їх маса прямо пропорційні.

^20    х 20 1,8 кг

1 ому — = —, звідки: х =-= 12 кг.

3    1,8 3 Відповідь: маса сплаву 12 кг.

Задача 6.

Сплав містить 36% заліза. Скільки кілограмів заліза міститься у 970 кг сплаву?

Розв'язання: 100 кг сплаву — 36 кг заліза

970 кг сплаву х кг заліза

100:970=36:*;

970 кг36 кг ^ЛҐЛ^ х =-= 349,2 кг.

100 кг

Відповідь: у 970 кг сплаву міститься 349,2 кг заліза.

Задача 7.

Сплав складається з міді, олова й сурми, взятих у відношенні 1:2:2. Знайдіть масу сплаву, якщо він містить 2,8 кг олова.

Розв'язання: 1.Знайдемо скільки частин становить весь сплав.

1ч+2ч+2ч=5ч 2.Знайдемо скільки припадає олова на 1 частину?

2,8 кг:2=1,4 кг. 3 .Знайдемо масу всього сплаву

1,4 кг • 5 = 7 кг.

Відповідь: маса сплаву 7 кг.

Задача 8.

У процесі перегонки нафти з неї отримують 30% гасу. Скільки потрібно нафти, щоб одержати 9 т гасу?

Розв' язання:

Маса нафти становить 100%, а маса гасу — 30%. Нехай щоб одержати 9 т гасу, потрібно переробити х т нафти. Запишемо умову задачі у вигляді схеми:

х т — 100%;

9 т — 30%.

.     х   100 9 т 100% ОЛ

Складаємо пропорцію:    =-; звідки х =-= 30 т —

9    30 30%

маса нафти.

Відповідь: маса нафти 30 т.

Задача 9.

За 8 годин токар виготовив 17 деталей. Скільки годин потрібно токареві для виготовлення 85 деталей, якщо він працюватиме з тією самою продуктивністю?

Розв' язання: 8 годин — 17 деталей;х годин — 85 деталей.

8 = 17.

х 85'

8год • 85 ч х =-= 40 год.

17

Відповідь: для виготовлення 85 деталей, токареві потрібно 40

год.

Задача 10.

Певне замовлення при одночасній роботі 5 автоматів виконується за 12 год. За скільки годин буде виконано те саме замовлення при одночасній роботі 8 автоматів?

Розв'язання:

Нехай 8 автоматів виконають замовлення за х год. Оскільки із збільшенням числа автоматів у кілька разів час виконання замовлення зменшується у стільки ж разів, то час виконання замовлення обернено пропорційний до числа автоматів. За властивістю обернено пропорційних змінних відношення х до 12 дорівнює оберненому відношенню 8 до 5:

х = 5 12 = 8.

Звідси: 8 х = 12 • 5,

х =-= 7,5.

8

Відповідь: при одночасній роботі 8 автоматів, те саме замовлення буде виконано за 7,5 год.

Задача 11.

Для перевезення піску планували виділити 15 самоскидів вантажністю 4 т кожний. Скільки самоскидів вантажністю 5 т слід виділити для виконання тієї самої роботи?

Розв' язання: 15 самоскидів — 4 т. х самоскидів — 5 т. 15 = 5;

х 4'

15 • 4

х = —— = 12(самоскидів).

Відповідь: для виконання тієї самої роботи потрібно виділити 12 самоскидів вантажністю 5 т.

Задача 12.

Скільки важить бензин, об'єм якого 25 л?

Розв'язання: Нам потрібно знайти вагу бензину Р

V = 25 л = 0,025 м3;

— П 7 КГ

Рбензину       0,7      3 ;

ж

8 = 9,8 4.

.   Ми  знаємо,  що  вага  тіла  прямо  пропорційна  масі і прискоренню вільного падіння тіла за другим законом Ньютона. Р=т і>;

т=рУ;

Р=pVg=700Ц- 0,025м39,8 м = 0,1715       » 0,17 Н. м с с

Відповідь: вага бензину становить 0,17 Н.

Задача 13.

Довжина меншого плеча важеля 5 см, більшого 30 см. На менше діє сила 12 Н. Яку силу треба прикласти до більшого плеча, щоб зрівноважити важіль?

Розв' язання:

Нам потрібно знайти силу, яку треба прикласти до більшого плеча і^2.

/1 = 5 см = 0,05 м;

/2 = 30 см = 0,3 м;

^ = 12 Н.

За умовою рівноваги важеля, сили прикладені до плечей, обернено пропорційні довжинам плечей:

л =

р = Ек1]1 = 12 Н 0,05 м = 2 Н 2     /2 0,3 м

Відповідь: щоб зрівноважити важіль, до більшого плеча потрібно прикласти силу в 2 Н.

Задача 14.

Який тиск на підлогу чинить хлопчик, маса якого 48 кг, а площа підошв його взуття 320 см1.

Розв' язання:

Нам потрібно знайти тиск на підлогу, який чинить хлопчик Р. т = 48 кг'

5 = 320 см2 = 0,032 м2'

м

8 = 9,8 2 с

Р = -

5

Сила -, з якою хлопчик тисне на підлогу, дорівнює т^. Тоді

тиск на підлогу  Р = —^-, де тиск прямо пропорційний масі і

5

прискоренню вільного падіння і обернено пропорційний площі підошов взуття.

48 кг • 9,8 м Н

Р =-2^ = 14700 — = 14700 77а.

0,032м м

Відповідь: тиск, який хлопчик чинить на підлогу становить

14700 Па.

Задача 15.

Неоднорідний стержень АВ має довжину 12см. Маса його частини АВ зростає пропорційно квадрату відстані точки М від кінця А і дорівнює 10г при АМ=2см. Знайдіть масу всього стержня і лінійну густину в точках А і В.

Розв' язання:

Нехай довжина відрізка АМ = х(см), тоді т = кх2, де к— коефіцієнт пропорційності. Маємо 10 = к• 22, к = 2,5.

Маса стержня дорівнює: т = 2,5 • (12см)2 = 360г. Лінійна густина дорівнює: р1 = т( х) = 2кх = 5 х. В точці А тXх) = тг(0) = 0. В точці В т\х) = тг(12) = 5 • 12 = 60.

Відповідь: маса всього стержня становить 360 г, а лінійна

г г густина в точках А становить 0а в точці В становить 60

З ,   .* ~   ^ ~  ^-----хх^—~ .

см см .

2.ЗАДА ЧІ НА НАЙБІЛЬШЕ І НАЙМЕНШЕ ЗНА ЧЕННЯ

Проблема знаходження найменших та найбільших значень відіграє важливу роль в фізиці, техніці та економіці. Мова йде про визначення оптимально можливих значень фізичних і інших величин, економії часу, енергії, матеріалів, про попередження аварійних ситуацій і ін.

Запропоновані задачі носять вибірковий характер, вони лише в невеликій мірі відображають масштабність цієї проблеми.

Задача 1.

Електричні заряди д1 = 5нКл і д2 = 11нКл розміщені на відстані г один від одного. Яким чином слід перерозподілити заряди, щоб сила взаємодії між ними була найбільшою?

Розв'язання:

За законом Кулона сила взаємодії між зарядами

r2

Відповідь: оскільки к і г є сталими, то щоб отримати максимальну силу, треба лише перерозподілити заряди. Для отримання найбільшої сили потрібно від д2 відняти ЗнКл і передати д1.

Задача 2.

Електричне коло складається з двох паралельно з'єднаних провідників. При якому співвідношенні між опорами цих провідників опір найбільший, якщо при послідовному з'єднанні опір кола дорівнює 6 Ом?

Розв'язання: При послідовному з'єднанні: Я = Я1 + Я2

1   1   1 d R1R2

при паралельному--=--1--, R -    1 1

Я   Я1   Я2       Я1 + Я2 Оскільки   Я1 + Я2 = 6 = const,  то   Я1Я2   досягає найбільшого значення при Я1 = Я2 = 3(Ом) і, відповідно,

К = = - = 1,5.

К + К2 6

Зауваження: при розв'язуванні двох останніх задач була використана теорема:

Добуток двох додатних множників, сума яких є сталою, має найбільше значення при рівності множників.

Покажемо ще один спосіб розв'язування останньої задачі.

К = к к = Кі(6 - Кі)

Кі + К2 6 '

Кг(Кі) = і(6-2Кі), 6-2Кі = 0, Кі = 3, К2 = 3, 6

К"(Кі) < 0 і ми маємо максимум.

Відповідь: при співвідношенні К//(Кі)< 0 між опорами цих провідників опір найбільший.

Задача 3.

Річка шириною і20м тече зі швидкістю і,5 . Човняр, який

с

може гребти зі швидкістю 2,5 , хоче досягти протилежного берега в

с

найкоротший час. Знайдіть цей час і напрям руху човняра відносно берега.

Для досягнення поставленої цілі необхідно, щоб результуюча швидкість була направлена перпендикулярно до берегів річки (найменшій відстані відповідає найменша затрата часу) (мал.1)

\

м

г . =

її11п

2,5

с )

120

1,5

м

с )

2 м

с

2

1_ 1,5 а» 53°.

= 60(с),

»1,33,

Відповідь: час, за який човняр досягне протилежного берега, становить 60 с, напрям руху човняра відносно берега становить » 53°.

Задача 4.

Між точками А і В рухається по прямій тіло так, що виходячи з точки А з початковою швидкістю г>0 = 0, воно повинно мати

в точці В швидкість и = 0. При цьому тіло може рухатися з сталим за модулем прискоренням і рівномірно. Яким має бути характер руху, щоб час руху був мінімальним?

Розв' язання:

Пройдений шлях може бути зображений у вигляді площі трапеції чи трикутника (мал.2).

2

АіВіСі АіАВ2С2 АіА3В3С3 '

АС <    < АС,

або

іх < г2 < і,.

Відповідь: першу половину часу тіло повинно рухатись рівноприскорено, а другу половину рівносповільнено.

В задачі ми використали деяке твердження, яке доцільно було б довести.

Твердження. Якщо рівність:

і    і     і і

- = + +... + ,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі