С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 11

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

с

мм

V = 1,4— і V = 1,6 —. На якій відстані один від одного пристануть сс

човни до берега, якщо вони виїхали з одного пункту?

Розв'язання:

Перший рибалка перепливе річку за час ' = і буде знесений

течією відносно берега на відстань І1 = и, а другий рибалка

—— затратить час '2 =— і буде знесений течією на відстань І2 =— и.

Відстань між точками, в яких пристануть човни:

x = l -12 = -v~2   »u = 25(м).

viv2

Відповідь: човни пристануть до берега на відстані 25 м один від одного.

Задача 70.

Човен перепливає річку під кутом a = 30° до берега вниз за

м

течією. Швидкість човна відносно води v1 = 1,5 , швидкість течії

с

річки v2 = 2м. Визначити швидкість човна відносно берега.

с

Розв'язання:

Легко переконатися, що швидкість човна v1 не може бути

v

спрямована перпендикулярно до течії річки, тому що — )tg 30°. Згідно

v2

з    теоремою    косинусів:     v2 - 2v2 cos30°v + v22 -v1 = 0, звідки

v =?АСО830о±>2 V2; а и, *2,84— і v, *0,62 .

V      4 с с

Відповідь: швидкість човна відносно берега становить 2,84, а

с

також швидкість човна може становити и 0,62—.

с

Задача 71.

Спортсмен перепливає річку шириною сі. Під яким кутом а до течії він повинен пливти, щоб потрапити на протилежний берег за найкоротший час? Де він у цьому випадку пристане до берега і яку відстань 8 пропливе, якщо швидкість течії V, а швидкість спортсмена відносно води і2.

Розв'язання:

Час  руху  буде  мінімальним,  якщо  швидкість спортсмена відносно води і2 буде спрямована перпендикулярно до течії. Цей час с

дорівнює і = . За цей час течія знесе спортсмена на відстань

8 = v1t = сі. Швидкість спортсмена відносно берега V = Jvl2 + у\. За V

2

с

час ґ спортсмен пропливе 8 = дї = Мх + v2.

Відповідь: спортсмен, щоб потрапити на протилежний берег за найкоротший  час  повинен  пливти  перпендикулярно  до течії;

спортсмен пропливе таку відстань 8 = vt = л12 + v2.

Задача 72.

На відстані І = 200м мисливська собака помітила зайця. Через

який час вона наздожене його, якщо швидкість зайця v = 40-, а

год

собаки д2 = 60 КМ ?

год

Розв'язання:

Систему відліку пов'яжемо з Землею і спрямуємо вісь ОХ в напрямі бігу зайця й собаки. У цій системі рівняння руху запишемо так: х3 = І +     і хс = v/ У той момент, коли собака наздогнав зайця,

їхні координати будуть однаковими, тобто або І +    = д2ї,

звідки ґ = 1= 36с.  (Задачу можна розв'язувати і в системі

відліку, пов'язаній з зайцем або собакою.)

Відповідь: собака наздожене зайця через 36 с.

Задача 73.

Людина знаходиться на відстані к = 50м від дороги, по якій

наближається автобус зі швидкістю v = 10 м.

с

а) В якому напрямі повинна бігти людина, щоб зустрітися з автобусом, якщо автобус знаходиться на відстані І = 200м від

людини і якщо людина може бігти зі швидкістю v2 = 3 м ?

с

б) З якою найменшою швидкістю повинна бігти людина, щоб зустрітися з автобусом?

Автобус знаходиться в точці А, а людина в точці В. Нехай людина зустрічається з автобусом у точці С. Позначимо через а кут між напрямом, по якому видно автобус, і напрямом, по якому

повинна бігти людина. Нехай людина прибіжить у точку С через ї2 автобус прийде в цю саму точку через ґ1, тоді АС = v1t1 і ВС = v2t2.

а

З трикутника АВС видно, що АС lsina h sin - BC

Отже,

h vLtL sin a —---—

l v±

За умовою задачі tl>t2, тому sina>

0,8333. Звідси

56°24'<я< 123°36/.

Отже, напрями, по яких може бігти людина, лежать у межах кута ВВЕ. Під час бігу вздовж ВВ чи ВЕ людина досягне шосе одночасно з автобусом. В будь-яку з точок шосе, які містяться між точками В і Е, людина прибіжить раніше від автобуса. Найменшу швидкість, з якою повинна бігти людина, щоб зустріти автобус,

можна визначити

h . lc

умов:

tl —t2

і   sin a —L — 1.

lv

Звідси

Відповідь: напрями, по яких може бігти людина лежать в межах кута ВВЕ; найменша швидкість, з якою повинна бігти людина, щоб

зустріти автобус, рівна 2,5 м

с

Задача 74.

Автомобіль проїхав відстань від А до В зі швидкістю V = 60

км

а назад повертався зі швидкістю V руху автомобіля?

20

км год

год

Яка середня швидкість

Розв' язання: Середня швидкість руху автомобіля:

28 2««2 ОА км и =-= —— = 30

 + '2   « + « год

Відповідь: середня швидкість руху автомобіля рівна 30 1-.

год

Задача 75.

На дистанції 8 = 1500м одночасно стартують два бігуни. Бігун А

. м

пробіг першу половину шляху з швидкістю « = 4—, а другу—з

с

швидкістю   и2 = 6М.   Бігун  В   пробіг   першу   половину часу,

с

м

затраченого на подолання всієї дистанції, з швидкістю « = 4—, а

с

другу—з швидкістю и2 = 6 м. Який з бігунів фінішує першим? На яку

с

відстань він обжене другого бігуна?

Розв'язання:

Середня швидкість бігуна А: и1 = Г^Х>и°1 = 4,8м, а бігуна В:

«і с

Ч2 = « +г>2 = 5 М. Оскільки середня швидкість бігуна В більша, то він 2 с

8

фінішує першим, затративши час '2 = —. За цей час бігун А

2

8

пробіжить відстань 81 = и 1 —. Отже, бігун В обжене бігуна А на відстань А8 = 8 - 81 = 8 - 8 « = 60 м.

2

Відповідь: фінішує першим бігун В, який обжене бігуна А на 60

м.

Задача 76.

Знайти середню швидкість потяга, коли відомо, що першу

км

третину шляху він пройшов з швидкістю  « = 50-,  другу—

год

и2 = 75 КЛ1-, а останню—з швидкістю, вдвічі більшою за середню

год

швидкість на перших двох ділянках.

8 8 8

Середня швидкість потяга: и =-, де '1 = —, і

+ '2 +

Щоб знайти і3, обчислимо спочатку середню швидкість потяга на

28 2

перших двох третинах шляху: « =     3       = —Тоді швидкість

3 «і   3 «2

, і 8 (v1+v2)

поїзда на останній третині шляху « =—а і3 -

«і +«2 «2 Підставивши значення іі, і2 і і3 у формулу для и, дістанемо:

і2ц«2 км

« =—ґ—= 72-.

5(« + «2) год

Відповідь: середня швидкість потягу рівна 72 ^

год Задача 77.

Велосипедист їхав з одного міста до другого. Половину шляху

км

він проїхав з швидкістю « = і2-. Далі половину часу руху, що

год

км

залишився, він їхав з швидкістю «2 = 6-, а потім до кінця шляху

год

йшов пішки з швидкістю «3 = 4 КЛ1-. Визначити середню швидкість

год

руху велосипедиста на всьому шляху.

Розв'язання: Середня швидкість велосипедиста:

+ 82 + 83

« =-2-3,

С        'і + '2 + '3

де 8і, 82 і 83—відрізки шляху, пройдені відповідно за час 'і,'2 і '3 з швидкостями «і2 і «3. Проте за умовою задачі 8і =82 +83 і '2 ='3. Середня швидкість руху велосипедиста на другій половині шляху « +«

82 + 83 буде —-- (оскільки '2 = '3). Тому можна записати:

22г>, + и2 + и3 год

км

Відповідь: середня швидкість велосипедиста ~ 7

год

Задача 78.

Ковзаняр біжить дистанцію 8 = 500м. Перші 81 = 100м він біг з

швидкістю и1 = 10м, наступні 82 = 300м з швидкістю и2 = 11м і

с с

останні 83 = 100м з швидкістю и3 = 13М. Яка середня швидкість бігу

с

ковзаняра?

Розв'язання: ис =-^-» 11,^.

Відповідь: середня швидкість бігу ковзаняра рівна » 11,1м.

с

Задача 79.

Пропливаючи повз пункт А проти течії річки, моторний човен зустрів пліт. Через /1 = 1год після зустрічі мотор човна заглух. Ремонт тривав /2 = 20хв, протягом якого човен вільно плив за течією з

попередньою швидкістю відносно води і наздогнав пліт на відстані І = 7км від пункту А. Знайти швидкість течії річки и.

Розв'язання:

Розглянемо рух човна в системі відліку, пов'язаній з плотом (течією річки). У цій системі човен протягом 1год віддалявся від плоту, потім 20хв перебував у спокої. Човен наздожене пліт за 1год, тому що його швидкість відносно води (і плоту) в обох випадках однакова. За ї = 1год + 1год + 20хв = 2год20хв пліт проплив І = 7км, отже, швидкість течії:

І   _ км и=  = 3

ї год

Задачу можна розв'язати також у системі відліку, пов'язаній з берегом річки, прирівнявши час руху човна і плоту.

км

Відповідь: швидкість течії річки и = 3

Задача 80.

Коли повз пристань проплив пліт у село, яке лежить на відстані 8 = 15км від пристані, вниз за течією відплив моторний човен. Він доплив до села за ї = 45хв і, повернувся назад, зустрів пліт на відстані 82 = 9км від села. Визначити швидкість течії річки и і швидкість V човна відносно води.

Розв'язання:

У системі відліку, пов'язаній з берегом річки, човен проплив (и + и)ї1 за течією і (и-и)ї2 проти течії, а пліт проплив відстань

и(ї1 + ї2). Очевидно, що + и)ї1 - - и)ї2 = и(ї1 + ї2), звідки ї1 = ї2, тобто човен проти течії плив також 45хв. Для руху човна можна

/ ^ 1 1        1 11_/ III 1 ^    111        ІЬІІіи І ./V

записати: (и + и)ї1 = 81 і (и-и)ї2 = 82, звідки:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі