С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 12

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

8, + 82 л , км V = —--      = 16

2ї год

8 - 8 км и = —-- = 4

2ї1 год

т^.л                   •          -  •      л км                          л г км Відповідь: швидкість течії річки 4-, швидкість човна 16-.

год год Задача 81.

Із Києва до Фастова з інтервалом часу ї вийшли дві електрички, які рухаються з швидкостями V. З якою швидкістю рухався потяг у Київ, якщо він зустрів ці електрички з інтервалом часу т ?

Розв'язання:

Відстань між електричками 8 = иї. З другого боку, ця відстань

8 = + и)т, де икм — швидкість потяга. Прирівнявши праві

год

частини цих рівностей, дістанемо:

ї-т

и = V

т

ї

Відповідь: потяг рухався у Київ зі швидкістю и = V

т

Задача 82.

З пункту А, розташованого на кільцевій трасі, одночасно стартують в тому самому напрямі велосипедист і мотоцикліст (обидва рухаються рівномірно). Поки велосипедист пройшов перше коло, мотоцикліст пройшов три повні кола і прийшов в пункт В, девін обігнав велосипедиста перший раз. У скільки разів швидкість мотоцикліста більша від швидкості велосипедиста?

Розв'язання:

Позначимо довжину кола через і. Згідно з умовою задачі,

і + АВ 3сі + АВ сі АВ „ -=-, звідки---= 2.

АВ сі АВ сі

З цього рівняння АВ = 42 +1. Тоді шукане відношення швидкостей:

и   і + АВ

_2_ _

2 + 4 2.

ц АВ

Відповідь: швидкість мотоцикліста більша від швидкості велосипедиста у 2 + 42 разів.

Задача 83.

Колона   автомобілів,   довжина   якої   І = 2км,   рухається з км

швидкістю ц = 30-. Від голови колони до хвоста мотоцикліст

год

км

проїхав з швидкістю ц = 50-, а в голову колони повертався з

год

швидкістю   ц = 60КМ.   Скільки часу  затратив  на  цю поїздку

год

мотоцикліст і який шлях він проїхав?

Розв'язання:

Систему відліку доцільно пов'язати з колоною автомобілів. Від

І

голови до хвоста мотоцикліст їхав протягом часу: ї =-і проїхав

ц

відстань    \ = І -цї =-—, а від хвоста до голови час руху

ц

ї2 =—1—, і пройдена відстань: 82 = І + Цї2 =  ІЦз  . На всю поїздку

ІІ

мотоцикліст затратив ї =--1--= 5,5хв і проїхав відстань:

ц + ц   ц - ц

~ = ^ + 8 2 = І

5,25 км.

ц +ц2   цз у Відповідь: мотоцикліст затратив 5,5 хв на відстань 5,25 км.

Задача 84.

Колона автомобілів виїжджає з певного пункту зі сталою

швидкістю ух = 36

км год

У момент, коли голова колони знаходилася на

відстані 8 = 10км, з того самого   пункту   вирушає мотоцикліст з

швидкістю   V. = 54

км год і   наздоганяє   голову колони,

а

потім

повертається в її хвіст, затративши на весь цей шлях і = 34хв. Визначити довжину колони, вважаючи, що вона не змінюється під час руху.

Розв'язання:

Пов'яжемо систему відліку з колоною. Мотоцикліст наздоганяє

голову колони за час і1 =

8

і повертається в її хвіст за час

І2 =

X

х 8

-+-

де х —довжина колони. За умовою: і1 + і2 = і, тобто

і, звідки х = —-- (и2і - и1і - 8 ) = 1км.

и+и2   ц-и ц-и

Відповідь: довжина колони 1 км.

Задача 85.

У плавальному басейні трьома доріжками пливуть спортсмени: по першій і третій доріжках в один бік, а по другій — в протилежний. Швидкість першого спортсмена ц, другого и2. Знайти швидкість третьего спортсмена, якщо спортсмени весь час знаходяться на одній прямій і пливуть по середині доріжок. Відстань між серединами першої і другої доріжок а1^ а між серединами другої і третьої <і2.

Розв'язання:

Систему пов'яжемо з спортсменом. системі другого

відліку першим У цій швидкість спортсмена ц +и2,     а швидкість

третього  ц + и3. Умова,

що вони весь час знаходяться на одній прямій, зберігається.

Нехай у певний момент часу спортсмени знаходяться в точках А, В і Е. Через одиницю часу вони будуть у точках А, "* і К ( перший спортсмен нерухомий у цій системі). Очевидно, що В¥ = v1 +и2, а

ЕК = и+ и

звідки:

V + V

і, + а (       ч       (2 / ч

Відповідь: швидкість третього спортсмена и3

І2

Задача 86.

Два теплоходи рівномірно рухаються прямими курсами, які перетинаються під кутом а = 60°. Швидкості теплоходів однакові і

дорівнюють   V = 25

км год

У  початковий  момент часу теплоходи

знаходилися в точках А і В, відстань між якими і = 50км. Визначити, через скільки часу відстань між теплоходами буде мінімальною і чому вона дорівнюватиме.

Розв'язання:

Нехай у якийсь момент часу і) 0 теплоходи знаходяться в точках

А і

Відстань між ними ДВ1 = 8 знайдемо за теоремою косинусів:

а а (

82 = а/Чіп2 + 4соб2 Vі -

2

а ^2

2 > а2 Біп2 а

~2'

оскільки завжди

ні

2

Л2

> 0.

Мінімальне значення 8 матиме при

такому

а

а

і =

2v

8 =

тіп

і,   що    -— = 0, звідки

2

= 1год. Ця мінімальна відстань

І Біп— = 25

2

км.

Відповідь: через 1 годину відстань між теплоходами буде мінімальною і дорівнюватиме 25 км.

Задача 87.

Досягнувши швидкості ц = 108КМ, автомобіль починає

год

рухатися рівносповільнено з прискоренням а = 0,4. Через який час

с2

його швидкість зменшиться в п = 3 рази?

Розв'язання:

Швидкість автомобіля через час і після початку сповільнення

V = V - аі. Згідно з умовою-0= п, звідки: і =--= 50с.

ц - аі па

Відповідь: через 50 с швидкість автомобіля зменшиться в 3 рази.

Задача 88.

Мотоцикліст стартує з пункту О зі сталим прискоренням і проїжджає відстань АВ = 80 = 125м між пунктами А і В за час і0 = 5с, причому його швидкість в пункті В була в п = 5 разів більша, ніж в А.

28 0 (п -1)

(п +1) '

Визначити швидкість мотоцикліста в пунктах А і В, час, затрачений на рух до цих пунктів, а також відстань ОА.

Розв'язання:

Швидкість в пункті А знайдемо з формули шляху:

аі02 п -1

2 п +1

звідки

ц =,  \, » 8,33

Довести,   що   прискорення   руху   мотоцикліста   а =

і 2

А    і0 +1) с

(п +1)

Швидкість в пункті В:

2п80 ,_м (п+ї)

Знаючи швидкість у точці А, можна з формули    = 2а8 знайти

2

і0 (п +1) с

8 аі2

відстань 81 = ОА: 81 = —— » 5,2м, а з формули 81 = —- знайти час

п2 -1 2

руху мотоцикліста до пункту А: і12 = -—або і1 = —— = 1,25с. Тоді

(п -1) п -1

до пункту В мотоцикліст рухався і2 = і1 + і0 = 6,25с.

Відповідь: швидкість мотоцикліста в пункті А » 8,33М, в пункті

с

В» 41,6М, відстань ОА » 5,2 м, час, затрачений на рух до цих пунктів с

1,25 с і 6,25 с відповідно.

Задача 89.

Два велосипедисти їдуть назустріч один одному. Один з них,

км

маючи швидкість V = 18-, піднімається рівносповільнено вгору з

год

м км прискоренням а = 0,2 — , а другий,— маючи швидкість V = 5,4-,

с год

рівноприскорено спускається з прискоренням а = 0,2—. Через який

с2

час вони зустрінуться і яку відстань до зустрічі проїде кожен, якщо відстань між ними в початковий момент часу 80 = 130м ?

Розв'язання:

За початок системи координат візьмемо початкове положення першого велосипедиста і вісь Ох спрямуємо в напрямку швидкості

аі2 .

v1. Рівняння руху велосипедистів запишемо так:  х1 =^--і

аі2

х2 = 80 - v2і--.       У      момент      зустрічі       х1 = х2 або

аі2               аі2 8 V/--= 80 - --,   звідки  і =-0— = 20с.  Шлях, пройдений

2 2 V

кожним велосипедистом до зустрічі:

8, =vі--= 60 м,

1 1 2

аі 2

82 =v2і + — = 70 м.

2 2 2

Відповідь: два велосипедисти зустрінуться через 20 с і перший велосипедист проїде до зустрічі 60 м, а другий 70 м.

Задача 90.

Два автомобілі вирушили одночасно із села до міста, відстань між якими становить 180 км. Один автомобіль прибув до міста на 45

хв пізніше, ніж другий, оскільки його швидкість була на 20-

год

менша. 3 якою швидкістю рухався кожний автомобіль?

Нехай   швидкість   першого   автомобіля   була   хкм, тоді

год

швидкість другого — (х + 20)км. Другий автомобіль витратив на

год

180 180

шлях із села до міста -год, а перший — -год, що на

х+20 х

45хв = — год більше, ніж час руху другого. Тоді---= —.

4 х    х+20 4

Розв'яжемо одержане рівняння:

180 - 180 = 3.

х    х + 20 4' 60     60 1

х   х+20 4

1200      1;

5

5

х(х + 20)" 4 х2 + 20 х - 4800 = 0; х(20 + х)* 0.

х2 + 20 х - 4800 = 0, х1 = 60; х2 = -80.

Корінь —80 не задовольняє умови задачі. Отже, перший автомобіль рухався зі швидкістю 60км, а другий — 80 ^

год год

Відповідь: перший автомобіль рухався зі швидкістю 60км, а

год

другий рухався зі швидкістю 80-.

год

Задача 91.

Моторний човен пройшов 21 км проти течії річки і 8 км за течією, витративши на весь шлях 2 год. Знайдіть швидкість човна в

км

стоячій воді, якщо швидкість течії річки становитьНехай  х--швидкість катера у стоячій воді, тоді його

год

км км швидкість за течією дорівнює (х +1)-, а проти течії— (х -1)-.

год год

-год —час руху катера проти течії, -год —час руху за

х-1 х+1

течією. Оскільки на весь рух було затрачено 2 години, то маємо

рівняння:

х -1   х + 1

|2х2 - 29х -15 = 0;

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі