С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 19

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

2

6) 100:3 = 150(км)—весь шлях.

Відповідь: туристи за три дні проїхали 150км.

Задача 154.

Після зустрічі двох теплоходів один з них пішов на північ, а другий на захід. Через дві години після зустрічі відстань між ними була 60 км. Знайдіть швидкість кожного теплохода, якщо відомо, що

швидкість одного з них була на 6км більша швидкості другого.

год

Розв'язання:

км

Нехай швидкість теплохода, що йде на північ,  х-, а

год

теплохода, що йде на захід,  (х + 6)кмТак як напрями руху

год

перпендикулярні, то за теоремою Піфагора:

1 — =

V   3   3 у

г-----------і г----

(2 х )2 + [2(х + 6)]2 = 6звідки х = -24  або   х = 18.   Умову задачі задовольняє лише

х=18. Отже, швидкість першого теплохода 18км, тоді другого

год

18 + 6 = 24 км

год

Відповідь:   швидкість першого теплоходу становить 18 км, а

год

км

швидкість другого становить 24-.

год

Задача 155.

Собака, знаходячись в точці А, побіг за лисицею, яка була на відстані 30 м від собаки. Стрибок собаки дорівнює 2 м, стрибок лисиці—1 м. Собака робить два стрибки за той час, як лисиця робить три стрибки. На якій відстані від точки А собака наздожене лисицю?

Розв'язання:

Два стрибки собаки складають 4 м; 3 стрибки лисиці складають 3м. Звідси, коли собака пробігає 4 м, відстань між собакою і лисицею зменшується на 4м - 3м = 1м. Початкова ж відстань між ними в 30 разів більша. Отже, собака наздожене лисицю, коли пробіжить 4 м • 30 = 120м.

Відповідь: собака наздожене лисицю на відстані 120 м від точки

А.

Задача 156.

Потяг вийшов з станції А на станцію С через В. Ділянку від А до В він йшов з встановленою швидкістю, а ділянку від В до С— із зменшеною на 25%. На зворотному шляху ділянку від С до В він йшов з встановленою швидкістю, а ділянку від В до А—з швидкістю, зменшеною на 25%. Скільки часу йшов потяг від А до С, якщо відомо, що на ділянку від А до В він затратив стільки ж часу, скільки на ділянку від В до С, і що на шлях в напрямку від А до С він

використав на ^ години менше, ніж на зворотній шлях (тобто від С

до А)?

Розв'язання:

Позначимо через і час руху потяга від А до С (в годинах) і через

( км Л АТ> и—встановлену швидкість в -        . За умовою, шлях АВ пройдений

V ї км ї

за —год при швидкості V-, а шлях ВС—за —год при швидкості

2 год 2

0,75 • икЛ4-. Отже, АВ = V—км і ВС = 0,75 -и—км. За умовою, на год 2 2

зворотному шляху ділянку СВ було пройдено з швидкістю V, а

ділянку ВА—з швидкістю 0,75V. Отже, ділянку СВ було пройдено за

0,75иї        _       0,75ї _., V—

час —2: V, тобто за —— год, а ділянку ВА—за —: 0,75и, тобто за

*    год. За умовою:

2 • 0,75

ї       0,75ї 5

+ —— = — + ї,

2 • 0,75     2 12 звідки ї = 10.

Відповідь: потяг йшов від А до С 10 годин.

Задача 157.

Велосипедисту потрібно було проїхати відстань в 30км. Виїхавши на 3 хв пізніше назначеного терміну, велосипедист їхав з

швидкістю, більшою на 1км, і прибув вчасно на місце. Визначте

год

швидкість, з якою їхав велосипедист.

Розв'язання:

Вважатимемо, що велосипедист їхав з швидкістю v-КМ; тоді

год

швидкість, яка передбачалась, дорівнювала (V-1)км. Фактично

год

велосипедист був у дорозі 30   , а надавався термін 30   . За

велосипедист був у дорозі —год, а надавався термін -год. За

V V-1

умовою:

30    30 3

25

V-1   V 60 Звідки V = 25 або V = -24.

Значення V = -24 не задовольняє умову задачі. Відповідь: швидкість, з якою їхав велосипедист, становить км

Задача 158.

З двох міст, відстань між якими 650 км, відправляються два потяги назустріч один одному. Якщо обидва потяги виїдуть з міста одночасно, то вони зустрінуться через 10 годин. Якщо ж другий потяг відправиться на 4 години 20 хвилин раніше першого, то зустріч відбудеться через 8 годин після відправлення першого. Визначте середню швидкість кожного потяга.

Розв'язання:

и км

Нехай швидкість першого потяга х-, швидкість другого

год

км

у-. В першому випадку перший потяг пройде до зустрічі 10 хкм,

год

другий 10 укм. Тобто,

10 х +10 у = 650.

В другому випадку перший потяг проїде до зустрічі 8хкм, а

1 1

другий  (який  йшов   8год + 4год20хв = 123годпройде   123укм.

Тобто,

8 х +12-у = 650.

3

Маємо систему рівнянь:

Г10 х +10 у = 650, 8 х +121 у = 650, звідки

х = 35, у = 30.

Відповідь: середня швидкість першого потяга 35км, а середня

год

км

швидкість другого потяга 30-.

год

Задача 159.

Два потяги відправляються одночасно назустріч один одному з станцій А і В, відстань між якими 600 км. Перший з них приходить на станцію В на 3 години раніше, ніж другий на станцію А. В той час, коли перший проїжджає 250 км, другий проїжджає 200 км. Знайдіть швидкість кожного потяга.

Розв'язання: Нехай швидкість першого потяга х

км год а другого у

км год

600

Відстань в 600 км перший потяг проходить за-год, а другий—за

х

600

у

год. За умовою:

Г 600

+ 3

600

х у 250 200

х у

Розв'язавши систему, одержимо х=50, у=40. Відповідь: швидкість першого потяга 50 км год а швидкість

другого потяга 40 км год

Задача 160.

Дачник, який йшов на потяг, пройшов за першу годину 3,5 км, і розрахував, що рухаючись з такою ж швидкістю, він запізниться на 1

годину. Тому він шлях, що залишився проходив з швидкістю 5 км год і

прибув на станцію за 30 хв до відправлення потяга. Визначте, який шлях повинен був пройти дачник.

Розв'язання:

км

Якщо довжина шляху х км, то при швидкості 3,5- дачник

год

х

пройде цю відстань за 3-5 год. А оскільки він запізниться на потяг на годину, то в момент його виходу до відходу потяга залишалось

х

13,5 -)

відходу потягу

х 3,5

год. Через годину після виходу дачника залишалось до V-

х

3,5

год, а потрібно було пройти цю відстань за

у

1

год. Оскільки він прийде за —год до відходу потяга, то: 5 х    ^   х  3,5 1 3^5 "        5~~ = 2' звідки х = 21.

Відповідь: дачник повинен був пройти шлях, рівний 21 км.

Задача 161.

Віддаль від Києва до Гостомеля по шосе 19 км. З Києва в Гостомель виїхав велосипедист з деякою постійною швидкістю; через 15 хвилин після нього в тому ж напрямку вийшов автомобіль; він через 10 хв після виходу наздогнав велосипедиста і продовжував шлях до Гостомеля, де, не зупиняючись, повернув назад і через 50 хв після свого виходу із Києва зустрів велосипедиста вдруге. Визначте швидкості автомобіля і велосипедиста.

Розв'язання:

тт км км

Нехай швидкість велосипедиста х—,  а автомобіля  у—.

хв хв Автомобіль пробув в дорозі 10 хв, а велосипедист 10 +15 = 25 хв, коли

його наздогнав автомобіль. В цей момент відстані, пройдені ними, були однаковими. Отже, 25х = 10у. Коли на зворотному шляху автомобіль зустрів велосипедиста, автомобіль пройшов 50укм, а велосипедист 65хкм. Ці відстані в сумі дають подвійну відстань від Києва до Гостомеля. Тому 65х + 50у = 38. Розв'язуючи систему рівнянь, знаходимо х=0,2=0,5.

км км

Отже,  швидкість  велосипедиста   0,2— = 12-; швидкість

хв год

автомобіля 0,5 — = 30 км.

хв год

Відповідь:    швидкість    велосипедиста    12км, швидкість

год

автомобіля 30 км.

год

Задача 162.

Теплохід йде з Києва до Дніпропетровська протягом двох діб, назад— протягом трьох діб. Визначте, скільки часу буде пливти пліт з Києва в Дніпропетровськ.

Розв'язання:

Нехай пліт пропливає відстань а км від Києва до Дніпропетровська за х діб. Тоді його швидкість, що дорівнюєшвидкості течи Дніпра---. За умовою, швидкість теплоходу,

х добу

а км

який йде за течією, рівна--. Отже, швидкість теплохода в

2 добу

. _     (а   а ^ км стоячій воді буде----. А оскільки швидкість руху теплохода

V 2   х ) добу а км

проти течи складає--, то швидкість його в стоячій воді рівна

3 добу

3   х ) добу

км

Маємо рівняння:

а а = а + а 2   х   3 х

звідки х = 12.

Відповідь: пліт буде пливти з Києва в Дніпропетровськ 12 діб.

Задача 163.

Якщо людина з постійною швидкістю спускається по ескалатору, який йде вниз, вона проходить 30 східців ескалатора. Піднімаючись з тією ж швидкістю по ескалатору, що спускається, людина проходить 150 східців. Скільки східців при тій же швидкості руху людина пройде по нерухомому ескалатору?

Розв'язання:

Нехай довжина ескалатора (відстань, яку вгору і вниз проходить людина) рівна S, швидкість руху ескалатора і людини відповідно рівна U i V. Довжину ескалатора будемо вимірювати східцями (цим ми спростимо розв'язання задачі).

При русі вниз зі швидкістю U + V людина пройде відстань S за той же час, за який з швидкістю V пройде 30 східців. Перше рівняння системи:

S   = 30 U + V ~ V '

При русі вгору зі швидкістю V   U людина пройде відстань S за той же час, за який з швидкістю V пройде 150 східців. Друге рівняння системи:

S   = 150 V - U    V '

Маємо систему:


ґ я

30

и+V

" V 9

я

= 150

[V - и

= V

Розділивши перше рівняння системи на друге, отримаємо:

V - и   1    . з      . .  . .

-= , звідки V = — и. Підстановка спі ввідношень між

и + V   5 2 швидкостями в рівняння дає відповідь Я = 50.

Відповідь: 50 східців. (В цій задачі система двох однорідних рівнянь з трьома невідомими, що дозволяє зменшити число невідомих).

Задача 164.

Дві людини, у яких один велосипед на двох, повинні потрапити із пункту А в пункт В, який знаходиться на відстані 40 км від пункту

А     Т-Г • А КМ

А. Перша людина рухається пішки з швидкістю 4-, на велосипеді

год

км             . км - зі швидкістю 30-. Друга пішки - з швидкістю 6-, на

год год

велосипеді - з швидкістю 20КМ. За який найменший час вони

год

можуть потрапити в пункт В (велосипед можна залишати без нагляду)?

Розв'язання:

Зробимо 2 дуже важливих висновки. Мінімальний час руху людей можливий тільки в одному випадку: обоє прибувають в кінцевий пункт одночасно. Нехай із 40 км перший пройде х км пішки, тоді (40 - х)км проїде на велосипеді, а другий (40 - х)км пройде пішки, а х км проїде на велосипеді. (Змінювати характер руху вони можуть скільки завгодно раз: від цього смисл задачі не змінюється).

( х   40 - х ^

Нехай перший знаходився в дорозі 4 н3^ год, а другий -( х   40 - х^

--1--год. Як було сказано вище, обоє повинні прибути пункт

V 20      6 )

В одночасно. Складемо рівняння:х   40 - х_х    40 - х

4     30   = 20      6 '

із якого отримаємо, що х = 16км. Найменший час, за який вони

дістануться до пункту В, рівний

х   40 - х    х    40 - х ї = - +-= — +-= 4,8.

4   30    20 6

Відповідь: найменший час, за який вони дістануться до пункту В 4,8 год.

Задача 165.

Два спортсмени бігають по одній замкненій доріжці. Швидкість кожного стала, і на пробіг всієї доріжки один витрачає на 5 с менше ніж другий. Якщо вони почнуть пробіг з спільного старту одночасно і в одному напрямку, то будуть поруч через 30 с. Через який час вони зустрінуться, якщо побіжать одночасно зі спільної лінії старту в протилежних напрямках?

Розв'язання:

Нехай довжина замкнутої доріжки рівна £; на пробіг цієї доріжки перший спортсмен витрачає ї с, а другий - + 5) с.

Очевидно, що швидкості спортсменів рівні відповідно v1 = £ і

^2 =

ї + 5

Якщо спортсмени починають пробіг зі спільного старту одночасно і в одному напрямку, то вони будуть поруч, коли більш швидкий спортсмен обжене іншого спортсмена рівно на круг довжиною £. За умовою задачі складемо рівняння:

---=

ї     ї + 5

Знайдемо додатний корінь рівняння. Після почленного ділення на £ отримаємо, що ї = 10, тобто спортсмени пробігають доріжку відповідно за 10 с і 15 с.

Якщо спортсмени біжать назустріч один одному зі спільної лінії старту, то всю довжину доріжки вони пробіжать з швидкістю:

V 1    2   10   15у

м с

Час забігу до зустрічі:

£       150 ґ ї =-=-= 6 с.

^ + А 25 10 15

Відповідь: два спортсмени зустрінуться через 6с.

Задача 166.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі