С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

і 2 п

де а > 0, а, > 0, а2 > 0,а > 0, то а < а1, а < а2,а < ап.

Доведення:

1    1    _ а, - а

---> 0, ^-

а   а1 аа1 > 0, а1 > а, а < а1 і т.д.

Дане твердження має велике практичне значення в фізиці, електротехніці і ін.

Задача 5.

Електричне коло має деякий опір (значення цього опору може бути відомим або невідомим). Потрібно змінити опір кола так, щоб

він став меншим 5 Ом.

Для розв'язання цієї задачі достатньо паралельно    підключити   провідник з опором К £ 50м (мал.3). і     і і

+ -, Я < 5. Я   Я 5

Задача 6.

До конденсатора ємності Сх треба приєднати інший так, щоб в

результаті отримали ємність, меншу 3мкФ.

Розв' язання: При послідовному з'єднанні конденсаторів:

1   1   1 1

= + +... + .

С       С1       С2 Сп

До    конденсатора    ємності    Сх треба

послідовно підключити інший конденсатор ємністю С < 3мкФ .(мал.4).

С   С 3

Теорема: якщо а > 0 і Ь > 0 , то

2   <4а~Ь £ а £

1 1

- + -аЬ

2

а2 + Ь1

2

Доведення. 2аЬ

ліаЬ =-:-=-< 0.

а + Ь

а + Ь а + Ь

(Інші нерівності доводяться аналогічно).

Задача 7.

Доведіть, що коли дві сили Рі і Р2 прикладені до однієї точки під кутом 90°, то +|і*2| £ |^| -42, де Т- рівнодійна ^ і ¥2.

Сформулюємо     задачу по-іншому. Доведіть, що в прямокутному трикутнику мал.3 найбільше значення суми довжин катетів

дорівнює довжині гіпотенузи, помноженої на л/2 (мал.5, 6).

Доведення.

\а2+Ь2 _^а2+Ь2

а + Ь 2

2

'2

а + Ь < Vа2 + Ь2 -42 = сл/2.

Задача 8.

Визначте мінімальну відстань між предметом і його дійсним зображенням в збиральній лінзі з фокусною відстанню Т.

Розв' язання. Перший спосіб розв'язування:

111.

—і— =--формула

1   І Т

тонкої

лінзи, де < - відстань від предмета до лінзи, І - відстань від лінзи до зображення предмета, Т - фокусна відстань.

1 +І > 2 2

(1 -І)2

і і

1 І

2# 1 +І

> 0.

2(< +І)

Найменшій відстані 1 + / відповідає   1 = І (мал.7).

З —!— = — знаходимо 1   І Т

1 = 2

1 = 2 ¥,

12 .

а =

1 - ¥ 1 +1 = 4 ¥.

Другий спосіб:

Нехай 1 +1 = а, І = а -1

і і

+ і

1   а -1 ¥

12

а =-,

1 - ¥

12 - а1 + а¥ = 0,

1

а ± V а - 4а¥

2

а2 - 4а¥ > 0, атіп = 4¥ або (1 +1) тіп

4 Т.

Третій спосіб:

dF

f

d + f

dF

+ d

d

(d - 2F)2

сі - Т7 сі - Т7        сі - И      і - И

При і = 2 Т маємо найменшу відстань, що дорівнює 4Т. Четвертий спосіб:

+ 4 F.

d + f

(d+f):

d

d - F'

2d(d - F) - d

(d)

d2 - 2dF (d - F )2

5

(d - F)

d2 - 2dF _ 0, d _ 2F. При d _ 2 Ff _ 2 F, ad + f _ 4F.

Принцип Ферма

П'єр Ферма (1601-1665 рр.) в результаті розв'язування багатьох задач проголосив так званий принцип найменшої дії. Згідно цього принципу природа змушує всі явища відбуватися з найменшою затратою енергії, часу і ін. (Принцип Ферма не є універсальним). Наприклад, світло вибирає із всіх можливих траєкторій, що з' єднують

дві точки, ту, яка вимагає найменшого часу.

Якщо застосовувати принцип Ферма до закону заломлення світла—час проходження границі двох середовищ мінімальний при V _ sin a

v2   sin b

світла в різних середовищах, наприклад в повітрі і воді, а—кут падіння, в—кут заломлення. (мал.8)

де v i v2—швидкості поширення

Задача 9.

Пішохід повинен пройти з пункту А, що знаходиться на одному тротуарі, в пункт В, що знаходиться на другому тротуарі. Знаючи, що швидкість руху по тротуару в ц раз (ц>1) більша, ніж по бруківці, визначте, під яким кутом ф пішохід повинен перейти вулицю для того, щоб подолати шлях в найкоротший час.и    8іп(90°-сг)  1 1 - -еоБр, р = агесоБ

ти    Біп90°   т т

Якщо допустити, наприклад, що ц=2, то р = 60°.

Відповідь: для того, щоб подолати шлях в найкоротший час,

пішохід повинен перейти вулицю під кутом р = агесоБ —.

т

3.РОЗВ 'ЯЗ УВАННЯ СЮЖЕТНИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ

РІВНЯНЬ

Задача 1.

Катер у стоячій воді йде зі швидкістю 20 КМ. Швидкість течії

год

~ км        „ .

річки 2-. Знайдіть відстань між двома пристанями, якщо рейс

год

туди й назад катер здійснює за 5 год.

Розв'язання:

Швидкість  катера  за  течією  дорівнює   20 + 2 = 22(км);

год

швидкість катера проти течії дорівнює 20 - 2 = 18(КМ).

год

Нехай х — відстань між двома пристанями. Тоді, пливучи за

х

течією, катер витрачає — годин; а, пливучи проти течії, витрачає

22

х

— годин. 18

Отримаємо:

+ = 5, звідси 9Х +11х = 5, 20х = 990,х = 49,5. 22   18 198

Відповідь: відстань між пристанями 49,5 км.км

Катер у стоячій воді проходить 15-, швидкість течії річки

год

км

2-. Знайдіть відстань між двома пристанями, якщо в один бік

год

катер проходить її на півгодини швидше, ніж у другий.

Розв'язання:

Нехай відстань між двома пристанями х км. Швидкість катера

км      км км за течією дорівнює: 15--+ 2-= 17-, швидкість катера проти

год     год год

км     км км течії — 15--2-= 13-. Пливучи за течією, катер витрачає

год     год год

хх

— годин. Пливучи проти течії, катер витрачає 13 годин. Тоді

х     х 1 отримаємо: — =---, звідси

17 13 2

х     х 1 17 -13 =-2, 13х -17 х = 1

221   =-2,

221

- 4х =--, х » 27,6.

2

Відповідь: відстань між пристанями дорівнює 27,6км.

Задача 3.

Відстань ніж двома станціями потяг може проїхати зі швидкістю

км км

70-      на півгодини швидше, ніж зі швидкістю 60-. Знайдіть цю

год год

відстань.

Розв'язання:

Нехай  хкм - відстань  між двома станціями,  тоді зі

км х швидкістю 70-, потяг проходить цю відстань за —годин; а зі

год 70

км         х                               х    1 х швидкістю 60--за — годин. Отримаємо:--+= —, звідси

год     60 70 2 60

6х+210 7х

420 426 х + 210 = 7 х, х = 210.

Відповідь: відстань між двома станціями рівна 210 км.

Задача 4.

Пасажирський потяг протягом 3 год проходить на 10 км більше,

ніж товарний протягом 4 год. Швидкість товарного потяга на 20км

год

менша від швидкості пасажирського. Знайдіть ці швидкості.

Розв'язання:

км

Нехай швидкість пасажирського потяга дорівнює х-,

год

тоді швидкість товарного потяга — (х - 20)км.

год

Протягом 3 годин пасажирський потяг пройде 3х км. Протягом 4 годин товарний потяг пройде 4(х - 20) км.

Складемо рівняння, виходячи з умов задачі: 3х - 4(х - 20) = 10. Розв' яжемо це рівняння:

3х - 4(х - 20) = 10,

3х - 4 х + 80 = 10,

- х = -70,

х = 70.

км

Швидкість  пасажирського  потяга дорівнює   70-, тоді

год

км       км км швидкість товарного потяга дорівнює 70--20-= 50-.

год      год год

км

Відповідь: швидкість пасажирського потяга дорівнює 70-,

год

км

швидкість товарного потяга дорівнює 50-.

год

Задача 5.

Велосипедист їхав 2 год ґрунтовою дорогою і 1 год асфальтованою — всього 28 км. Знайдіть його швидкість на кожній ділянці дороги, якщо асфальтованою дорогою він їхав зі швидкістю

км

на 4-більшою, ніж ґрунтовою.

Нехай х-      — швидкість велосипедиста на асфальтованій

год

дорозі; тоді (х - 4]-      — швидкість велосипедиста на ґрунтовій

год

дорозі.

Складемо рівняння, виходячи з умов задачі: х + 2(х - 4) = 28. Розв 'яжемо це рівняння:

х + 2( х - 4) = 28; х + 2 х - 8 = 28, 3х = 36, х = 12.

Відповідь: по асфальтованій дорозі велосипедист їхав зі

швидкістю 12-, по ґрунтовій — 8-.

год год

Задача 6.

Від станції до турбази туристи йшли зі швидкістю 4-, а на­год

зад — зі швидкістю 5-, і тому на той самий шлях витратили на

год

годину менше. Знайдіть відстань від станції до турбази.

Розв'язання:

Нехай відстань від станції до турбази х км. Тоді, ідучи зі

. км х швидкістю 4-, туристи витратили — годин, ідучи зі швидкістю

год 4

км х 5---годин.

год 5

хх

Отримаємо: — 1 = —,

45

звідси

5 х - 20 = 4х

20 = 5 х - 20 = 4 х,

х = 20.

Відповідь: відстань від станції до турбази 20 км.

Задача 7.

Відстань між пунктами А і В по залізниці дорівнює 66 км, а по річці 80,5 км. З пункту А поїзд виходить на 4 год пізніше пароплава і прибуває до В на 15 хв раніше. Визначити середню швидкість поїзда,

якщо вона на 30км більша за швидкість пароплава.

год

Розв'язання:

км

Нехай  швидкість  поїзда  дорівнює   х-,   тоді швидкість

год

пароплава буде (х - 30)км. Весь шлях поїзд проходить за 66 год, а

год х

80,5

пароплав за-год. Оскільки поїзд виходить на 4 години пізніше, а

х-30

прибуває на 15 хвилин раніше, ніж пароплав, то поїзд був у дорозі на 44год менше пароплава, тобто:

80,5    66   л 1

—і---= 4

х-30   х 4 або

17х2 - 568х - 7920 = 0,

Звідки х =-10—, а х2 = 44. 1        17 2

Перший корінь умову задачі не задовольняє. Отже, х=44.

Відповідь: середня швидкість поїзда становить 44

км

год Задача 8.

Теплохід пройшов відстань між пристанями в одному напрямі за 4 год, а в протилежному — за 5 год. Знайдіть відстань ніж

км

пристанями, якщо швидкість течії річки дорівнює 2-.

год

Розв'язання:

км

Нехай швидкість теплохода в стоячій воді дорівнює х-,

год

км

тоді швидкість за течією дорівнює (х + 2)-, а швидкість протитечії дорівнює (х - 2)км. Відстань між пристанями — 4(х + 2) або

год

5(х - 2).

Отримаємо: 4(х + 2) = 5(х - 2), звідси:

4 х + 8 = 5 х -10,

5 х - 4 х = 8 +10,

х=18.

км

Швидкість теплохода в стоячій воді — 18-, тоді відстань

год

між пристанями дорівнює: 4 (18 + 2) = 4• 20 = 80(км).

Відповідь: відстань між пристанями дорівнює 80 км.

Задача 9.

Вертоліт пролетів відстань між двома містами при попутному вітрі за 5,5 год, а при зустрічному — за 6 год. Знайдіть відстань між містами і власну швидкість вертольота, якщо  швидкість вітру

км

дорівнювала 10-.

год

Розв'язання:

км

Нехай власна швидкість вертольота — х-, тоді швидкість

год

км

при попутному вітрі дорівнює (х +10)-, а швидкість проти вітру

год

км

дорівнює (х -10)-.

год

Відстань між містами дорівнює: 5,5(х +10) км або 6(х-10) км. Отримаємо: 5,5(х +10) = 6(х -10). Звідси:

5,5 х + 55 = 6 х - 60;

0,5х=115,

х = 230.

км

Швидкість вертольота дорівнює 230-, тоді відстань між

год

містами дорівнює: 6 • (230 -10) = 1320(км).

Відповідь: відстань між містами становить 1320 км; власна

км

швидкість вертольота становить 230-.

год

Задача 10.

км

Швидкість моторного човна за течією 23 -, а проти течії

год

км

17-. Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії.

год

Розв'язання:

км км Нехай х-      - власна швидкість моторного човна, а у- -

год год

швидкість течії річки, тоді х + у = 23 і х - у = 17. Отримали систему рівнянь:

х + у = 23, х - у = 17; 2 х = 40, х = 20 у = 23 - 20, у = 3.

Відповідь: власна швидкість моторного човна дорівнює 20 ^ швидкість течії річки - 3

год к

год

Задача 11.

Туристи проїхали 640 км, з них 7 год потягом і 4 год автобусом.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі