С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 22

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

gxг

у - tga() x

- і   у-'-------'     '  • gl 1

При x - І, у - h, тому h - І ■ tga0

2v0 cos a0

gi

0   2v02 cos2 a0

gi2

.2 _

0

Звідси vn-----r .

2 cos a0 (I tga0 - h)

Оскільки чисельник в заданих умовах не змінюється, можна дослідити на екстремум лише знаменник функції. Перетворимо його:

cos2 a0(l tga0 -h)-1 cosa0 sina0 - h cos2 a0.

Продиференціюємо отримане і прирівняємо до нуля:

І cos2 a0 -1 sin2 a0 + 2hcosa0 sina0 - 0 .

Отримане рівняння приведемо до вигляду:

2      2h . tg a,- — ■ tga, -1 = 0.

„ . 2 2h л _ Ввівши позначення tga0 = x, отримаємо x--x -1 = 0.

Корені рівняння: x12 = — ±

l

h2

l2

Другий, від'ємний, корінь не відповідає умові задачі, тому

h Wh1 +12  . h W h2 +1

tga, =--- і a, = arctg

l u        " l

gl

При цьому значенні аргумента функція v

2

o

2со82 а0 tga0 - Н) набуває мінімального значення.

Задача 3.

На човні необхідно переправитись на протилежний берег швидкої річки, швидкість течії якої и більша, ніж швидкість човна V л.

Під яким кутом до течії повинна бути направлена швидкість човна, щоб знесення її течією було мінімальним?

Розв'язання:

Швидкість човна відносно берега визначається векторною сумою її швидкості відносно води vл і швидкості течії u. Направимо

вісь x за течією, а вісь y впоперек. Позначимо ширину річки через b. Оскільки проекція вектора суми рівна алгебраїчній сумі проекцій додавання векторів, то

v0 = v cosa + u і v = v sin a.

0 x л oy л

b

Знесення човна за час руху S = vox t, де t =-. Роблячи

ox v sin a

л

підстановку, отримаємо:

b

S = (vл cosa+u )•

v sin a

л

чи

S=b

u

ctga+--і

V        v л sin a J

Знайдемо значення кута, при якому функція

S = b

u

ctga+--має екстремум:

v л sin a J

- b(vл + u cos a) = о

v sin a

л

v

Звідки vл + u cos a = 0, і тоді cos a = —-

л u

Кут, під яким слід тримати напрямок, щоб знесення човна течією було мінімальним, дорівнює а = агссоБ

'  v ^

л

V   u J

Задача 4.

Санчата з вантажем загальною масою m потрібно здвинути з місця. Коефіцієнт тертя спокою санчат об сніг //. Яку мінімальну силу треба прикласти для цього?

Розв' язання:

Прикладемо всі сили до центра мас системи. Шукану силу можна представити сумою двох компонентів: Fx = F cos a і

Fy = F sin a. Тоді умова рівноваги при максимальній силі тертя

спокою:

18О

Ox: F cos a- F    = 0;

mp. max 7

Oy: F sin a + N - mg = 0 => => N = mg - F sin a

Максимальна сила тертя спокою пропорційна силі, яка тисне, рівна по модулю N, тобто Fmp max = m(mg - F sin a). Виходить, що зменшуючи кут a, ми

збільшуємо Fx, але при цьому зростає і Fmp max, яку потрібно

компенсувати.

Маємо:

Звідси F

F cos a - jUmg + juF sin a = 0.

cos a + m

sin a

Оскільки чисельник сталий, дослідимо на екстремум знаменник. Продиференціюємо знаменник і прирівняємо до нуля, отримаємо: - sin a + m cos a = 0, звідки a = arctgm. Тоді екстремум функції

F

mmg

cosa+//-mmg

sina

^ =-.

соз(аг^;и) + /шп (аг^/и)

Додаткове дослідження показує, що це мінімум.

Задача 5.

В горизонтальній трубі довжиною І знаходиться позитивно заряджена кулька. Поблизу протилежних кінців труби знаходяться закріплені позитивні заряди д1 і д 2. Знайдіть положення рівноваги кульки із умов мінімальності потенціальної енергії системи в цьому положенні.

Потенціальна енергія кульки в полі заряду д1: Жп1 = к

1' дш і в г

полі заряду д 2: Жп 2 = к

І - г

Сумарна потенціальна енергія Жн ) = к' д

г    І - г ^ відповідає умові

7

Екстремум функції Жн ) = к • дш

ш\ г    І

рівноваги. Продиференціювавши і прирівнявши похідну до нуля, маємо:

г2     - г )2

0.

Звернемо увагу на те, що отриманий результат фактично виражає умову компенсації кулонівських сил. Мінімум потенціальної енергії відповідає умові компенсації сил. Ми отримуємо можливість характеризувати умову рівноваги як стан, в якому потенціальна енергія системи мінімальна. Це широко використовувана у фізиці інтерпретація умови рівноваги.

ґ

Із рівності кдь

Звідси

її + д2

г

- г)2

0 слідує: = -—-

г     - г)

(д1 - д2 2 - 2д1Іг + д1І2 = 0;

їІ ±д/АдхІ2 - 4І211    - д2)

г1

1,2

2(д1 - 42 )

Перший корінь не відповідає умові, оскільки при г кулька поза трубою. Тому кулька в рівновазі, коли відстань від заряду д1 рівна:г =--1.

Задача 6.

Два однакових додатних заряди величиною д розміщені на відстані а один від одного. В якій точці на осі симетрії напруженість результуючого поля, створеного цими зарядами, максимальна?

Розв' язання:

мал

зарядом в точці А, рівна кд

Побудуємо графік і введемо позначення:

ОА = х;

\

г =

а

4

+ х2

Напруженість поля, створюваного кожним

Е

а 2 — + х

4

Відповідно принципу суперпозиції, загальна

напруженість визначається векторною сумою Е0 = Е1 + Е2. Модуль результуючої напруженості, як видно із графіка чи теореми

косинусів:

2

Е

. ф '       , і оскільки =

2 2

х

то

а

+ х'

Ео (х ) = 2кд1

х

а2 2 — + х 4

Для знаходження екстремуму отриманої функції продиференціюємо її і прирівняємо похідну до нуля:

2kql

a2 2

— - 2 x2 v 4 j

0.

/    2 \5/2

a2 2 — + x

v 4 j

a2      2 a

Звідси отримаємо:--2 х = 0 і х12 = ±—=. Обидва корені

4 "\ '2*

входять в область допустимих значень функції.

16кд1

Е0     =-р=-.

0 тах

3V6' a2

Це значення напруженості буде в точках, симетрично розміщених відносно лінії, яка з'єднує заряди.

Задача 7.

При дії на механічну коливальну систему, гармонічно змінюючи внутрішню силу F = F0' sin at, в ній встановлюються вимушені

коливання з амплітудою:

A = - F°

Шд/(а02 -а2)2 + 4^2^2 '

де ш - маса системи, а0 - власна циклічна частота коливань системи, Ь - показник затухання, який характеризує силу опору середовища. При якій частоті а періодичної внутрішньої сили настане резонанс, тобто амплітуда стане максимальною?

Розв'язання:

Знайдемо частоту, при якій підкореневий вираз знаменника

функції А = — 0 = досягає екстремуму.

щ(с02 - а2)2 + 4/32со2

Продиференціювавши його і прирівнявши до нуля, отримаємо:

2(c0[1]-co[2])(- 2со) + 8fi[3]co = 0; -4с(с0[4] -co[5] -[6]) = 0; сох = 0;

Перший корінь не відповідає умові задачі, тому кінцево:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі