С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 23

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

Тоді:

A

рез.

Задача 8.

По похилій площині, яка утворює кут a з горизонтом, втягують за шнурок ящик. Коефіцієнт тертя ящика об площину ц. При якому куті між шнуром і горизонтом потрібна мінімальна сила для витягування ящика?

Розв'язання:

Отримаємо функцію, яка виражає залежність необхідної сили від кута . Нехай до ящика прикладена сила F під кутом до горизонту. Направимо координатні осі вздовж похилої площини і перпендикулярно до неї. Тоді умова рівноваги в проекціях:

Ox: F cos(/ -a)- Fmp - mg sin a = 0; Oy : F sin(/З -a) + N - mg cos a = 0.

Виразимо із Oy : F sin (ft -a)+ N - mg cos a = 0 N : N = mg cos a- F sin (ft -a), і тоді для сили тертя: Fmp = ju(mg cos a- F sin (ft - a)). З врахуванням отриманого для сили тертя формула Ox: F cos(ft -a)- Fmp - mg sin a = 0 набуде вигляду: F cos(ft -a)- jumg cos a + juF sin (ft -a)- mg sin a = 0. Звідси

mg (sin a + m cos a) cos(ft -a) + m sin (ft - a)

Цю функцію треба дослідити на екстремум, вважаючи змінною (ft-a).

Задача 9.

Людина може рухатися по полю з швидкістю v, а по шосе - з швидкістю u. Їй необхідно із точки A в полі потрапити в точку C на шосе. Під яким кутом до шосе їй потрібно рухатися, щоб потрапити в точку C за мінімальний час?

Розв' язання:

If         f    , Виділимо два відрізки траєкторії - Лі? і -----------~r  ВС і введемо позначення. Загальний час руху:

і !і -у-; - - -yj        /0 =--1--. Використовуючи графік,

мал.57 , ,

AB = — :BC = l

sin p tgp

Після підстановки при заданих v і u час виражається як функція

h      l      h     TT   , .

кута: t0 = :--1----. Цю функцію потрібно дослідити на

v sin p   u   u- tgp

екстремум.

Задача 10.

В вертикальній трубі знаходиться стовп рідини висотою H. На якій висоті h від основи слід зробити отвір в стінці труби, щоб дальність польоту струменя виявилась максимальною?

Розв'язання:

 

 

 

1

 

 

 

—— -

 

 

мал. 5 8

п——І2h

Горизонтальна дальність польоту струменя залежить від її швидкості і часу польоту x = v0 х^. Початкова

швидкість струменя визначається розміщенням отвору відносно рівня вільної поверхні: v0 х = ^2&{Н—Н), а час польоту залежить від

&2

висоти: h

2

і =

2h

На

основі наведених співвідношень для горизонтальної дальності

отримаємо: х

2 ё - h )■

чи х = 2л[к^[Н—Л). Вважаючи h

змінною, функцію х = 2д/Л - Л) досліджуємо на екстремум.

Задача 11.

Гелій масою т в циліндрі під поршнем займає об'єм У1 при тиску р1. Цей газ повільно переводять в стан з параметрами У2 і р2, причому процес переходу характеризується законом р = Ь - а У. Визначте максимальну температуру в цьому процесі.

Розв' язання:

Макроскопічні параметри стану газу зв'язані рівнянням

т

Менделєєва-Клапейрона: рУ = ЯТ. Тут М - молярна маса газу,

М

Я - універсальна газова стала. Підставимо сюди вираз для р:

(Ь - аУ )У

М

т

ЯТ. Звідси температура як функція об'єму:

І (У)

тЯ

М

■(ЬУ - аУ2).

Значення параметрів початкового і кінцевого стану газу дозволяє конкретизувати коефіцієнти a і b.

Г Pi = b - aVi,

lP2  = b - aV2.

Розв'язуючи дану систему, отримаємо:

a = P1 - P 2    і b = P1V2 - P 2V1

V - V V - V '

2      1 2 1

І так, слід дослідити на екстремум функцію

T (V) = M- •(bV - aV2) і використати отримані вирази для mR

коефіцієнтів.

Задача 12.

Електрично заряджена частинка з зарядом e і масою m, пролетівши поле конденсатора, вилітає із нього під кутом /3 до пластини. Напруженість поля всередині конденсатора E, довжина пластини l. Оцініть інтервал значень кінетичної енергії влітаючої частинки, якщо кут а, під яким вона влітає, не реєструється.

Розв' язання:

В електричному полі конденсатора на частинку діє кулонівська сила, яка надає їй прискорення, напрямлена вздовж лінії напруженості. Проекція вектора швидкості на вісь x, перпендикулярна вектору E, залишається незмінною. При невизначеному а можливі два випадки: коли кут між напрямками початкової швидкості частинки і вектором напруженості тупий і коли кут між вказаними напрямками гострий.

Розглянемо перший випадок. Оскільки проекція швидкості на вісь x незмінна, то v cos /3 = v0 cos а. Для другої проекції швидкості:

eE

vy = v0 - at. Прискорення за другим законом Ньютона: ay = —, і

y     0 y     y y mтому v sin З = v0 sin a---1. Час польоту частинки через конденсатор

m

t =-l-. Підставимо в попередню формулу:

v0 cos а

v sin З = v0 sin a--.. Поділивши v sin З = v0 sin a--

mv0cosa m v0 cos a

eEl

на v cos З = v0 cos a, отримаємо: tgp = tga-----. Із цієї

mv0 cos a

формули, використовуючи співвідношення —1-= tg 2a+1 і

cos a

r    mv v . ....

Ek =-, виразимо кінетичну енергію влітаючої частинки:

E = eEl   tg 2а +1 к     2   tga-tgfi'

Отримали функцію, яку треба дослідити на екстремум. Її дослідження дозволяє визначити мінімум, тобто нижню границю, кінетичної енергії влітаючої частинки.

В другому випадку проекція початкової швидкості частинки на вісь y співпадає за напрямком з прискоренням: vy = v0 + ay t,

eE eEl

відповідно v sin З = v0 sina+--1, і тоді tgp = tga л----2, звідки

m mv- cos a

для кінетичної енергії отримуємо: E

к=

eEl   tg 2a +1

З-tga'

Дослідження на екстремум нової залежності дозволить визначити друге граничне значення кінетичної енергії влітаючої частинки.

Про електричний струм, похідну та комплексні числа

Ми вже якось звикли чути і самі говоримо учням, що математика є могутнім засобом дослідження законів та явищ природи і суспільства, одним із основних чинників науково-технічного прогресу. Учні охоче вірять цьому. Проте шкільний курс математики непередбачає побудови цікавих і змістовних моделей, які б підтверджували подібні висловлювання.

Можна, звичайно, не погодитися з цим, оскільки більшість фізичних законів і правил подаються у вигляді математичних співвідношень. Та в процесі вивчення курсу фізики складається враження, що математика є лише мовою, з допомогою якої зручно записувати ці закони. Тому на прикладі елементарної електротехніки спробуємо з'ясувати, як математика може виступати засобом не лише опису явищ, але і їх дослідження, одержання важливих наслідків, відкриття нових закономірностей.

Даний матеріал можна використати під час викладання математики учням старших класів за умови, що вони володіють поняттям похідної функції як швидкості зміни процесу, який описує дана функція. Базові поняття з теорії комплексних чисел, наведені нижче, не виходять за межі програмових.

Комплексне число а в алгебраїчній формі має вигляд

а = a + bi,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі