С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 24

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

i[7] =-1.

Комплексне число а зображається точкою на координатній площині з координатами (a і b) або вектором 0а з такими самими координатами.

Поряд з алгебраїчною формою числа а вживають тригонометричну форму:

а = r (cosp + i sin p),

де а = r,  r = д/a[8] + b[9], а p - кут

нахилу вектора 0a до осі x, причому

b

sin p = -, r

a

cosp = . r

Наприклад, якщо a = 1 - iV3, тог = д/1 + 3 = 2,

с0sф =

smф =

1

2

л/3

звідки одне зі значень аргументу ф =

я

Тому тригонометрична форма числа 1 - іл/3 має вигляд

С0S

3

І--І + і sin

' я^

V

3

Аналогічно для р = —1 - і маємо:

г = 42,

sin ф =

с0sф =

1

2 ф =

5я 4

одне із значень:

л/2

тому

5л.. 5я

С0S--+ і sin —

4 4 ,

Тригонометричну форму комплексного числа зручно застосовувати під час множення чисел. Для цього потрібно модулі співмножників перемножити, а аргументи додати.

Наприклад, для наведених раніше а і в маємо:

аЬ = 2л/2

11я   . . 11я

С0S--+ і sin

12 12

Значний ефект досягається під час піднесення комплексного числа до степеня.

Так,

Ь100 = Гл/2 {сов + і sin

' л

5я

Ш г

4

100 • 5

4

100

100 5я

44

250 (cos 125я + і sin125я) = —250.

Під час ділення комплексних чисел користуються таким правилом: модуль частки двох чисел дорівнює частці від ділення модуля діленого на модуль дільника, а аргумент — різниці аргументів діленого і дільника.

1. Моделювання змінного струму.

Одним із важливих питань, з якими доводиться мати справу у процесі вивчення електрики є питання про характер змінного струму, а точніше — опис найважливіших характеристик змінного струму — ЕРС (напруги) та сили струму. Школярам у таких випадках запропонуємо остаточний результат.

Наприклад, змінний струм синусоїдальний, тобто сила струму I в кожний момент часу t визначається за формулою:

I = Im sin(wt + Pl ), (1)

де Im - амплітуда, w- частота, pi - початкова фаза. Аналогічну формулу маємо для ЕРС:

X = Xm sin (cot     ). (2) Проте ці формули легко довести, використовуючи тригонометричні функції, їх похідні і деякі знання про електричний струм та його походження.

Міркування можуть бути такими. Було помічено, що в провіднику, який рухається в магнітному полі, виникає електричний струм. Зокрема, реальним генератором струму є металева рамка АВ, що обертається між полюсами магніту

навколо осі оо1.

Експериментально виявлено, що індукована в рамці ЕРС пропорційна швидкості зміни магнітного потоку Ф, який пронизує рамку. Але швидкість зміни величини — це похідна від цієї величини за часом, тобто ми дістаємо відому з електротехніки формулу:

Х = - ~di'

Знак мінус у формулі пов'язаний із напрямом електричного струму.

Вважатимемо, що магнітний потік, який виникає внаслідок дії магніту, є однорідним. Його характеризує рівномірність розподілу силових ліній.

Якщо рамку розміщено під кутом а до положення АВ, тобто вона займає положення А1В1, то

Ф = Ф 0 С0ва.

Для рамки, що обертається з кутовою швидкістю О,

а = 01 + ф,

де ф характеризує положення рамки в момент часу і = 0. Отже,

Ф = Ф0 С0в(оі + ф),

тому

Ф 0овіп оі + ф).

Позначивши Ф0о = X , маємо

формулу (2) для ЕРС, що генерується рамкою в магнітному полі.

Зрозуміло, що напруга и на клемах джерела струму може бути описана такою самою формулою (2), як і ЕРС.

Формулу (1) легко довести, виходячи з формули (2) та закону Ома для електричного кола, що містить активний опір Я.

де /

Я

Оскільки и = ит sinі + фи),

то:

I

и ит (0І + фи )

Я

Я

и

Я

Під час доведення формули (1) для електричного кола змінного струму, який містить конденсатор з електроємністю С, скористаємося тим, що кількість електрики д на пластинах

конденсатора визначається за формулою д = и С, а сила струму —

за формулою І

сіі

Далі маємо

І = сі((Си) = си ос0ві + ф) =

і. т V ги/

Ситовіп О + фи+— = — віпж + ф),

V 2) ХС

1

де

ф =ф +

к 2

Звідси, зокрема, бачимо, що в колі змінного струму з конденсатором фазові значення струму і напруги відрізняються на

кут

к 2 а залежність між струмом і напругою вже відрізняється від

«класичного» закону Ома, хоча зовнішня схожість незаперечна (і не тільки зовнішня!). А залежність між амплітудними значеннями струму і напруги повністю збігається з формулою закону Ома:

І

и

X

Не випадково величину Хс називають ємнісним опором.

Аналогічний зв'язок можна отримати і для ланцюгів змінного струму, що містять індуктивність Ь, спираючись на умову синусоїдальності змінного струму.

Виходитимемо з того, що ЕРС самоіндукції, яка зумовлює зменшення струму, дорівнює:

аТому:

UL = Ld (Im sin(at + ji )) =

dt

=cLIm sin

к

Wt + ji +^    = XLIm cos(at + ji \

2 J

де XL =cqL- індуктивний опір ланцюга з індуктивністю. І знову для амплітудних значень маємо:

U = XLI .

m L m

Повний опір змінному струму у випадку, коли електричне коло містить активний R, індуктивний XL та ємнісний XC опори,

v J

складається із цих величин. Йдеться не про підсумовування, а про обчислення за формулою:

vr 2+( Xl - Xc )2,

обґрунтування якої ми не будемо наводити.

Ми дістали найважливіші характеристики ланцюгів змінного струму і співвідношення між ними, які в подальшому використаємо для реалізації ідеї моделювання змінного струму з допомогою комплексних чисел.

2. Додавання гармонічних коливань.

Наступний крок з реалізації цієї ідеї пов'язано з додаванням синусоїдальних струмів. Ця задача цілком природна. Якщо генератор містить кілька рамок, з'єднаних послідовно, то ЕРС генератора знаходиться шляхом підсумовування всіх ЕРС, що індукуються в кожній рамці (цей факт вважатимемо встановленим експериментально). Виникає запитання: чи є сума двох синусоїдальних ЕРС з однаковою циклічною частотою (або однаковою кутовою швидкістю) знову синусоїдальною?

Позитивну відповідь на це запитання дістанемо додаванням синусоїдальних ЕРС (гармонічних коливань):

£ =Xm, sin (Ct + j ) та

Скориставшись формулами тригонометрії, матимемо:

£ = £ + £ = 48ІП + р)+С 8ІП *+ р)=

= (£, 008 Р +      008 р )8ІП СОІ + щ БІП р + £   8ІП р )со8 СОІ

а 8ІП О + Ь соб о* а2 + Ь2

а

а2 + Ь2

8ІП О* +

Ь

а2 + Ь1

с08 о*

де

а = £щ соб р + £ соб к

Ь = £т 8ІП Рі + £т2 8ІП 2

Оскільки

а

а2 + Ь2

£ і,

Ь

л/а2 + Ь2

£ і,

а

чл/ а2 + Ь2

+ а

то можна ввести заміну:

а

л/а2+Ь2

= со8 а,

\лі а2 + Ь2

Ь

= і

л/а2 + Ь2

= 8іп а.

Тоді Тут £ = 4а2 + Ь2 8Іп* + а) = £т 8Іп* + а).

£ = £щ + £12 + т, £т2 С08(Рі - Р2 ).

£щ С08 Рі + £т2 С08 Р2

с08а=

8ІП а=

£т

т

£т, 8ІП Рі + £т2 8ІП Р

£т

Незважаючи навіть на те, що деякі деталі міркувань тут пропущено, розв'язання задачі досить громіздке.

Пошуки раціонального розв'язання змушують звернутися до комплексних чисел. На думку про можливість використання комплексних чисел (або векторів) може навести схожість формул (і), (2) з тригонометричною формою комплексного числа (фактично йдеться про «уявну» частину комплексного числа, записаного втригонометричній формі). Та й сама механічна процедура генерування синусоїдальної ЕРС нагадує обертання вектора, що виходить з початку координат, і є геометричним аналогом комплексного числа.

Першим кроком у моделюванні змінного струму з допомогою комплексних чисел може бути розв'язування розглянутої задачі на додавання ЕРС. Справа в тому, що дійсний вираз

Xm sin {at + j)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі