С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 25

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

і комплексний вираз

Xm {cos{at +     i sin {at + j))

знаходяться у взаємно однозначній відповідності і визначають один одного. Зрозуміло, що ця відповідність зберігається під час додавання гармонічних коливань (ЕРС, сили струмів).

Отже, сумі

X sin {at + j )+X2 sin {at + j2) відповідає комплексний вираз:

X {cos{at + j) + i sin {at + j))+X2 {cos{at + j2) + i sin {at + j2 )) = = {X {cos j + i sin j) + X2 {cos j2 + i sin j2 )){cos at + i sin at).

Звідси випливає, що підсумкова ЕРС є синусоїдальною з тією самою частотою a. Для знаходження її амплітуди та початкової фази необхідно число

X {cos j + i sin j )+X2 {cos j2 + i sin j2 ) записати в тригонометричній формі (тобто знайти його модуль і аргумент).

За умови фіксованої частоти гармонічному коливанню Asin{at +j) для кожного t можна поставити у відповідність число A(cos j + i sin j) або вектор довжини A, що утворює кут j з віссю x. Ця відповідність зберігається під час додавання коливань і відповідних комплексних чисел (або векторів).

Приклад 1.

Нехай електричне коло змінного струму містить два ланцюги, з'єднані паралельно. Струми, що проходять у кожному з ланцюгів, відповідно дорівнюють:

/1 {t ) = 10sin

f 3 J

/2 (t) = 6 sin

f 2t +

4p

Загальний струм І ) визначають шляхом додавання І1 ) та І2 ). Знайдіть І (ї).

Розв'язання:

Гармонічним коливанням І1 (ї) та І2 ) ставимо у відповідність комплексні числа

( ж

z1 = 10       — + І БІЙ

V 3

ґ

ї2 = 6

4ж

3

4ж

=10

V

Л г

1 л/3

- + І—

2 2

= 5 + 5л/3і

У

00Б--+ І БІЙ

33

У

Додавши їх, маємо:

_ 1 _ -уі

2   і 2

(

V

У

_3 _ 3л/3і

^ + 72 = 2 + 2і/3 = 4 00БЖ + і БІЙж

ж

Тому

v 3

І ) = 4б1п

3

3 У

у

Геометричний розв'язок наведено на малюнку. Використання комплексних чисел особливо раціональне під час додавання великої кількості гармонічних коливань.

Приклад 2.

Маємо п'ять джерел струму, з'єднаних послідовно.

Вони відповідно генерують

напруги:

0

и и и и и

 

3 бій

ґ

 

 

 

=

 

3 ї +

-

 

 

 

v

 

6 У

 

 

5 бій

(

3 ї +

2 ж

Л

=

 

 

 

9

 

 

V

 

 

У

 

6 бій

(

3 ї +

5 ж

Л

=

 

 

 

18

-

 

 

V

 

 

У

 

8 бій

(

3 ї +

ж "

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

9 у

 

 

10 бій

 

(

4 ж

 

 

 

3 ї

+

 

 

 

V

9

 

 

 

198

 

 

2

3

4

5

Знайдіть сумарну напругу.

Розв'язання:

Як і в попередньому прикладі, даним напругам ставимо у відповідність комплексні числа:

z1 = 3

Z2 =

f

V

f

5

V

f

жж

cos—+1 sin—

бб

2ж

cos--+1 sin

2ж

z3 = б

9

5ж

cos--+1 sin

9

Z4 =

s

V f

) )

V

1s

жж

cos—+1 sin

18

Л

J

z

= 10

99

   . 4ж

3(0,8бб + 0,5l 2,б0 +1,5/,

5(0,7бб + 0,643l)» 3,83 + 3,21l, = б(0,б43 + 0,766l 3,8б + 4,60l, 8(0,940 + 0,342l)» 7,52 + 2,74l,

cos

+1

9      9 j = 10(0,174 + 0,985l)»1,74 + 9,85l.

Оскільки для послідовно з'єднаних джерел струму напруги підсумовуються, то слід додати відповідні комплексні числа:

z1 + z2 + z3 + z4 + z5 »19,51 + 21,64l = 29,1(cos 0,84 +1 sin 0,84).

Отже, U1 + U2 + U3 + U4 + U5 » 29,1sin(3t + 0,84).

3. Комплексна модель змінного струму.

Розв'язання у п. 2 окремої задачі з електротехніки з допомогою комплексних чисел «матеріалізувало» ідею про використання комплексної моделі для подальшого аналізу ланцюгів змінного струму. В історичному плані ця ідея з'явилася досить пізно. Можливо, на дослідників впливало традиційне ставлення до комплексних чисел як до «уявних». Але комплексні числа «реальні» такою самою мірою, як і дійсні. І якщо спрацьовує модель фізичного процесу, побудована на їх основі, то така модель можлива.

Наведені раніше комплексні характеристики

X = Xm (cos(wt + () +1 sin (at + ()), I = lm (cos(w + ()+1 sin(w + j ))для ланцюгів змінного струму називають відповідно комплексними ЕРС, напругою та силою струму (або комплексом ЕРС, напруги та струму).

Перетворивши

і позначивши

маємо

Аналогічно,

де

І = Іт (СОБ р + І БІП р1 )(сОБ СоЇ + І БІЙ СоЇ).

І = Іт (соб ох + І БІП соЇ).

X = Хт (СОБ СоЇ + І БІП СоЇ), и = ІІт (соб СоЇ + І БІП СоЇ),

X = Xт (СОБ ( + І БІП ( ),

Комплексні числа Іт, Xт, и т  називають комплексними амплітудами струму, ЕРС і напруги.

Раніше вже йшлося про те, що для ланцюгів змінного струму наявність індуктивності або ємності не дає можливості скористатися законом Ома, який лінійно пов'язує силу струму і напругу. Тут залежність складніша. Проте комплексні сила струму і напруга пов'язані саме лінійною залежністю. Засновник теорії моделювання ланцюгів змінного струму Ч.П.Штейнмець (1865-1923) зіставив з ємністю С комплексне число

Кс = ХсІ =

1

СоС

І,

а з індуктивністю Ь - число

Яь = ХЬІ = соЫ,

назвавши їх відповідно комплексними опорами ємності та індуктивності.

Якщо коло змінного синусоїдального струму частоти містить активний опір, ємність С та індуктивність Ь, то числос

2 = Я + Я, + Яс = Я +

соЬ

соС

і називають комплексним

опором кола (комплексом опору) та и = 21.

Зауважимо ще й те, що модуль комплексного числа називається повним опором кола змінного струму:

2

ґ

Я2

соЬ

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі