С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 26

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

1

Л2

Якщо коло не містить ємності та індуктивності, то повний опір 2 дорівнює активному опору Я. Величину X = ХЬ - Хс називають

реактивним опором. Зрозуміло, що активний опір збігається з дійсною, а реактивний опір - з уявною частиною комплексного опору електричного кола.

Приклад 3.

Під дією напруги и = 220 бій сої +

5к 18 у колі проходить струм

ґ

I = ІОбіп

сої

ж 1

18 У

Знайдіть активний та реактивний опори.

Розв'язання: Комплексні напруга і струм мають вигляд:

и = 220

соб

ґ ґ

сої +

I = 10

соб

Тоді

2

V

I

сої -

18

ж

18

бій

ґ

сої +

V

18

220

+ і бій

сї-

ж

V

V

соб--+ і бій

18

18

5кЛ

18

I

( ж к ^ 10 соб—+ і бій

V

18 18

( ж к Л і— 22 соб — + і бій= 11 + 11л/3і

V   з з

Звідси Я = 110м, X = 1 ШОм.

Приклад 4.

Для кола змінного струму відомі сила струму

1

т

І = 5л^іп

сої +

ж

6

а також опори Хь = 7ООм, Хс = 4ООм, Я = ЗООм. Знайдіть

напругу и на клемах джерела струму в кожний момент часу і.

Розв'язання: Знайдемо комплексний опір кола:

2 = 30 + (70 - 40> = 30(1 + і) = 30л/2 ссю- + іsin

^ 4

4

Тоді

ґ

и = 12 = 5л/2

cos

сої +

ж

+ і sin

300

ґ

cos

сої +

5ж 12

сої +

+ і sin

сої +

V

V

ЛЛ

JJ

ж

~6

3^2

жж с(^ — + і sin — 4 4

12

Тому и = 300sin

сої +

Л 12

В.

Хоча ми зробили лише невеликий крок на шляху застосування похідної та комплексних чисел під час моделювання електричного струму і наведені приклади мають ілюстративний характер до отриманих формул та співвідношень, але вже можна побачити перспективи майбутніх досліджень електричних ланцюгів засобами математики.

2.ІНТЕГРАЛ ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ

Похідна і первісна

Розв'язуючи фізичні задачі, часто доводиться в одних випадках за даною функцією знаходити похідну, а в інших—за даною похідною відновлювати функцію, тобто знаходити первісну. Найдоцільніше виробляти навички в двох напрямах.

Задача І.

Колесо обертається так, що кут повороту пропорційний квадрату часу. Перший оберт було зроблено колесом за В с. Визначте швидкість колеса через с після початку руху.

Розв' язання:

За умовою p = kt2, де ф—кут повороту, t—час.

1 = k В2, k = .

б4

Кутова швидкість:

a(t) = p(t) = 2kt = 2 641 = 321;

a(48) = -L = 1,5(—). 32 с

Відповідь: швидкість колеса через с після початку руху

об

становить 1,5 —.

с

Задача 2.

Дощова краплина, початкова маса якої mo, падає під дією сили тяжіння, рівномірно випаровуючись так, що втрата маси пропорційна часу. Через скільки секунд після початку падіння кінетична енергія краплини буде найбільшою?

Розв' язання: Кінетична енергія обчислюється за формулою:

W = 2

Через шуканий час t c маса стане дорівнювати m0 - kt , аш =(щ>-Ь):^_ = т0 g2 і2 - к%2 і3 УУк 2 2 '

)= 2т0 g2 і - 3kg2 і2

2

2т0 g2 і - 3kg2 і2 = 0,

2т0 і =—-. 3к

Відповідь: через с після початку падіння кінетична енергія краплини буде найбільшою.

Задача 3.

Матеріальна точка рухається за законом х = 4 + 2і + і2 (м).

а) Знайдіть швидкість і прискорення. Переконайтесь, що при заміні початкової координати (4м) на інші її значення, наприклад на 0, 1, 5(м) величина швидкості не зміниться, а при заміні початкової

швидкості (2 м) на 0, 1, 5(м) величина прискорення не зміниться.

с с

б) За знайденим прискоренням визначте швидкість і координату.

Розв'язання:

а) Розглянемо кожен з заданих випадків: х = 4 + 2і + і 2 = 2 + 2і.

х = 2і + і2, и = 2 + 2і.

х = 1 + 2і + і2, и = 2 + 2і.

х = 5 + 2і + і2, и = 2 + 2і.

и = 2 + 2і, а = 2.

и = 2 + 2і, а = 2.

и = 1 + 2і, а = 2.

и = 5 + 2і, а = 2.

б) а = 2, и = + С (стала інтегрування—це початкова

швидкість). Для значень початкової швидкості 0, 1, 5(м)

с

маємо и = , и = 1 + 2і, и = 5 + 2і.

2t 2

Нехай v = 5 + 2t. Тоді x = 5t + — + C = C + 5t +12, де С—

2

початкова координата.

Для x() = О: x = 2t +12;

для xO = 1: x = 1 + 2t +12;

для xO = 5 : x = 5 + 2t +12.

а) x = 2 + Зt -12 + 5t 3(м)

м

Задача 4.

v = x'(t ) = З - 2t + 15t

V с J

a

= v(t ) = -2 + 3Ot

м

a '(t ) = ЗО

м

a '(t) - швидкість зміни прискорення.

Рівняння координати виду x = k + kxt + k212 + k3t3 відповідає руху зі змінним прискоренням, але при цьому швидкість зміни прискорення є величина стала, тобто a\t) = const.

б) a\t) = 30, a = 30t + C, де С—початкове прискорення.

м

Нехай С = -2—, тоді a = -2 + 3Ot, v = C1 - 2t + 15t

с м

Нехай С1 = 3—, тоді v = 3 - 2/ +15/ , х = С2 + 3/ - / + 5/ . с

Нехай С2 = 2 м, тоді х = 2 + 3/ - /2 + 5/3.

Задача 5.

Моторний човен рухається в спокійній воді з швидкістю

м

V = 20-. На повному ходу її мотор вимикається, і через 40 с після

год

цього швидкість човна зменшується до v = 8

м год

Опір води прямо

пропорційний швидкості руху човна. Визначте швидкість човна через 2 хв. після зупинки мотора.

Розв'язання:

На рухомий човен діє сила опору води:

V = -ки,

де к > 0 —коефіцієнт пропорційності. З іншої сторони, за другим законом Ньютона:

2О5

V = та

і, значить,

та = и чи V =--V.

т

Останнє рівняння—це рівняння виду:

х кх

км

з початковою умовою и0 = 20-при і = 0. Тому, згідно з

год

формулою:

х = Секі

кі

маємо: V = 20е т.

Тепер використовуємо додаткову умову: при і = 40, с

90

год,

и = 8

км год отримуємо:

_ к 1 к

8 = 20е т90 чи ет =

12 )

Тобто V = 20

( 5 ї

V 2 )

Звідси шукана швидкість:

и = 20

км

год 32 км

V 2 )

20

км год

V 2 )

20

км 8

год 125

25 год

=1,28

км год

Відповідь: швидкість човна через 2 хв. після зупинки мотора

становить 1,28

км год

Задачі, які допомагають розкрити суть сталої інтегрування

Задача 1.

Тіло рухається зі швидкістю V = 4соя і. За час і = — (с) воно

6

пройшло 20м. Знайдіть рівняння координати.

Розв' язання:

1

90

-90

-90—

3х = 4віп/ + С. За умовою 4віп — + С = 20, С = 18.

Відповідь: рівняння координати: х = 4б1п / +18 (м).

Задача 2.

Знайдіть кінетичну енергію тіла, яке в момент часу /=4с має

прискорення а = (3/ - 2)м, якщо маса тіла дорівнює 5 кг, а

с

м

швидкість при /=0 буде рівною 2—.

с

Розв'язання:

mv2       3/2   . _ £ =-^ =--2/ + С.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі