С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 3

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

км

Знайдіть швидкість потяга, якщо вона на 5-       більша від швидкості

год

автобуса.

Розв'язання:

км км Нехай швидкість автобуса х-, а швидкість потяга — у-.

год год

Відомо, що х + 5 = у. Потягом туристи проїхали 7у км, автобусом — 4х км, всього вони проїхали 640 км, отже, 4х + 7у = 640. Розв'яжемо систему рівнянь:х + 5 = у, 4 х + 7 у = 640; 4 х + 7( х + 5) = 640, 4 х + 7 х + 35 = 640, 11х = 605, х — 55, у = 55 + 5,

у=60.

Відповідь: швидкість потяга дорівнює 60км.

год

Задача 12.

Два туристи вийшли одночасно з двох міст, відстань між якими

38км, і зустрілись через 4 год. З якою швидкістю йшов кожний, якщо

перший до зустрічі пройшов на 2 км більше, ніж другий?

Розв'язання:

км км Нехай швидкість одного туриста х-, а другого — у-. За

год год

чотири години вони пройшли відповідно 4х км і 4у км кожний. Разом вони пройшли 4х + 4у = 38(км). Оскільки перший турист пройшов на 2 км більше, ніж другий, можемо записати: 4 х - 4 у = 2(км).

Отримали систему рівнянь:

|4 х + 4 у = 38,

[4 х - 4 у = 2;

8 х = 40, х = 5,

20 - 4 у = 2,-4 у = -18, у = 4,5.

Відповідь: швидкість першого туриста 5км, швидкість другого

год

. Г км туриста -4,5

год

Задача 13.

Відстань 160 км легковий автомобіль проходить на 2 години швидше, ніж автобус. Знайдіть їх швидкості, якщо вони відносяться, як 2:1.

Нехай легковий автомобіль проходить 160 км за х годин, тоді автобус проходить цю відстань за (х + 2) годин. Отже, швидкість

.        160 км _      160 км

автомобіля дорівнює--, а автобуса--.

х год х + 2 год

Отримаємо рівняння:

160 160

х   х + 2

160 І60_ = 2 х   х + 2

160(х + 2)

х • 160

х + 2 = 2;

2;

X

х + 2 - 2 х = 0; - х + 2 = 0; х = 2.

Дане значення х є коренем рівняння, оскільки знаменник при цьому не дорівнює 0.

Автомобіль проходить 160 км за 2 години, тоді автобус за 4

години. Отже, швидкість автомобіля дорівнює 160:2 = 80 швидкість автобуса дорівнює 160 : 4 = 40 ^ км^

год ) а

км

год )

Відповідь: швидкість автомобіля становить 80кмм; швидкість

год

км

автобуса становить 40-.

год

Задача 14.

Теплохід пройшов за течією річки 48 км і стільки ж проти течії і затратив на весь шлях 5 год. Знайдіть власну швидкість теплохода,

км

якщо швидкість течії річки 4

Нехай  власна  швидкість  теплохода дорівнює   х-, тоді

год

км

швидкість за течією дорівнює (х + 4)-. На шлях за течією теплохід

год

48 48 затратив - годин, на шлях проти течії - - годин, а всього

х+ 4 х-4 затратив 5 годин. Отримуємо рівняння:

48      48 г

-+-= 5;

х + 4   х - 4

х ф 4, х ф -4.

48(х - 4) + 48(х + 4)- 5(х2 -16) = 0-х2 -16 = ;

- 5 х2 + 96х + 80 = 0;

5х2 - 96х - 80 = 0; В = 2304 + 400 = 2704; = 48±52;

х1,2 =   5 ;

48 + 52

15

48 - 52 х2 =-= -0,8.

25

Очевидно, що від'ємне значення кореня не задовольняє умову

задачі. Отже, власна швидкість теплохода дорівнює 20км.

год

км

Відповідь: власна швидкість теплохода становить 20

год

Задача 15.

Човен пройшов проти течії 22,5 км і за течією 28,5 км, затративши на весь шлях 8 годин. Швидкість течії річки ~ ,км      .

2,5-. Знайдіть власну швидкість човна.

Нехай власна швидкість човна дорівнює х-. Тоді швидкість

год

км

за течією складає (х + 2,5)-, а швидкість проти течії дорівнює

год

(    о с\ км ... 22,5

- 2,5)-. На дорогу проти течії човен затратив-годин, а на

год х - 2,5

•        28,5 В . 8

дорогу за течією--годин. Всього він витратив 8 годин на весь

х + 2,5

шлях. Отримуємо рівняння:

28,5 + 22,5 = 8

х + 2,5   х - 2,5 28,5(х - 2,5) + 22,5(х + 2,5) - 8(х2 - 6,25) = 0; 28,5 х - 71,25 + 22,5х + 56,25 - 8х2 + 50 = 0;

- 8 х2 + 51х + 35 = 0;

8х2 - 51х - 35 = 0.

В = 2601 +1120 = 3721;

= 51 + л/3721 х1,2 =      16 ; = 51 + 61 = 1 16

51 -61 10

х2 =

- 5

о

16     16 8

Очевидно, що від'ємне значення кореня не задовольняє умову

задачі. Отже, власна швидкість човна дорівнює 7

км год

км

Відповідь: власна швидкість човна становить 7

год

Задача 16.

Електропотяг затримався в дорозі на 4 хв і ліквідував запізнення

на перегоні в 20 км, пройшовши зі швидкістю на 10км більшою, ніж

год

за розкладом. З якою швидкістю йшов потяг на цьому перегоні?

Нехай швидкість електропотяга за розкладом дорівнює х

год

тоді перегін в 20 км він проїхав би за — годин, але він їхав на цьому

х

км

перегоні зі швидкістю (х +10)-       і проїхав його на 4 хвилини

год

швидше. Оскільки 4 хвилини складають ц5 години, маємо рівняння:

20     20      1 ;

5

х х +10 15 20 _ 20 _ ]_ х    х+10 15

15 • 20( х +10)_ 15 • 20 х _ х(х +10)

0;

х х 10 0;

15 х(х +10) 300х + 3000 _ 300х _ х2 _ 10х = 0; _ х2 _ 10х + 3000 = 0; х2 +10 х _ 3000 = 0;

х = _60  або  х = 50. Від'ємне значення кореня не задовольняє умову задачі, тому

км

швидкість електропотяга за розкладом дорівнює 50-, а швидкість

год

км

на перегоні дорівнює 60

год

км

Відповідь: потяг на перегоні їхав з швидкістю 60

год

Задача 17.

З пункту А відправили за течією річки пліт. Через 5 год 20 хв з пункту А слідом за плотом вийшов моторний човен, який наздогнав пліт, пройшовши 20 км. Знайдіть швидкість течії річки, знаючи, що човен проходив щогодини на 12 км більше, ніж пліт.

Позначимо швидкість течії ріки через хкмм. Очевидно, що пліт

год

рухався зі швидкістю хкмм. Оскільки моторний човен проходив за

год

годину на 12 км більше, можна сказати, що його швидкість була

+12)км. Тоді 20 км він пройшов за   20   годин. Пліт знаходився год х +12

в дорозі на 5 год 20 хв довше і проплив ті ж 20 км, тобто

---= 5- (тут ми врахували, що 20 хв складають - години).

х   х +12     3 3

Розв'яжемо це рівняння:

20     20 16,

5

х    х +12 3

20   20 16

0;

х( х +12)

х х 12 0;

х    х+12 3 60(х +12) _ 60 х _ 16 х(х +12) 3 х( х +12)

60х + 720 _ 60х _ 16х2 _ 192 = 0;

_ 16х2 _ 192х + 720 = 0;

х2 +12 х _ 45 = 0,

х= _15   або х=3. Від'ємне значення кореня не задовольняє умову задачі. Отже,

км

швидкість течії ріки дорівнює 3-.

год

км

Відповідь: швидкість течії річки становить 3

год

Задача 18.

На середині шляху між А і В потяг затримали на 10 хв. Щоб прибути в В за розкладом, довелось початкову швидкість потяга

збільшити на 12км. Знайдіть початкову швидкість потяга, якщо

год

відстань між А і В дорівнює 120 км.

Позначимо початкову швидкість потяга через хкм. Оскільки

год

відстань від А до В дорівнює 120 км, половина цієї відстані дорівнює 60 км. Якщо б потяг ішов з початковою швидкістю, то він пройшов

би цю відстань за 60 годин. Він же пройшов цю відстань зі

би цю відстань за — годин. Він же пройшов цю відстань зі

х

швидкістю (х +12)км і пройшов її на 10 хв або на — години

год 6

швидше. Отримуємо рівняння:

60     60 1;

5

х   х +12 6

60   60 1

0;

х    х+12 6 360(х +12) _ 360х _ х(х +12) = 0. 6+12

360х + 4320 _ 360х _ х2 _ 12х = 0;

_ х2 _ 12х + 4320 = 0;

х2 +12 х _ 4320 = 0,

х = _72  або   х = 60. Від'ємне  значення  кореня   не  задовольняє  умову задачі.

Початкова швидкість потяга 60 ^

год

к

Відповідь: початкова швидкість потягу становить 60

год

Задача 19.

Теплохід пройшов униз річкою 150 км і повернувся назад, витративши на весь шлях 5,5 год. Знайдіть швидкість течії річки,

км

якщо швидкість теплохода в стоячій воді 55

год Розв'язання:

Позначимо швидкість течії річки через х-^4-. Тоді теплохід за

год

км

течією йшов зі швидкістю (55 + х)-, а проти течії зі швидкістюкм 150

(55 _ х)-. Йдучи за течією він затратив-годин, проти течії

год 55 + х

150  годин, а всього затратив 5,5 годин. Складемо рівняння:

55 _ х

150 150

+ —-= 5,5;

55 + х    55 _ х

150 150

+--5,5 = 0;

55 + х    55 _ х

150(55 _ х) + 150(55 + х) _ 5,5(3025 _ х2) _

3025 _ х2

8250 _ 150х + 8250 _ 150х _ 16637,5 + 5,5х2 = 0; 5,5х2 _ 137,5 = 0;

5,5х2 =137,5; х2 = 25;

х = ±5.

Від'ємне  значення  кореня   не  задовольняє  умову задачі.

км

Швидкість течії річки дорівнює 5

год

Відповідь: швидкість течії річки становить 5 .

год

Задача 20.

Турист проплив моторним човном вгору річкою 25 км, а назад спустився плотом. Човном він плив на 10 год менше, ніж плотом. Знайдіть швидкість течії річки,  якщо швидкість човна  в стоячій

км

воді 12-.

год

Розв'язання:

Нехай швидкість течії річки дорівнює х     . Угору по річці

год

км

моторний човен плив зі швидкістю   (12 _ х)-,  пліт плив зі

год

швидкістю, що дорівнює швидкості течії річки, тобто х іккмм. Намоторному човні турист подолав 25 км за - годин, пливучи

12 - х

плотом, він подолав ту ж відстань за час, що на 10 годин більше часу плавання човном. Отримуємо рівняння:

25    25  = 10;

х   12 - х

25 25

-10 = 0;

(12 - х

0;

х 12

25(12 - х)-25 х -10(12 - х )х х(12 - х)

300 - 25х - 25 х -120 х +10 х2 = 0; 10х2 -170х + 300 = 0; х2 -17х + 30 = 0; Б = 289 -120 = 169;

= 17 + л/169

х1.2 ~      2 ;

= 17 +13 =       = 17 _ 13 = 2

1      2 2 2

Корінь х1 = 15 нам не підходить, тому що швидкість течії річки

не може бути більшою швидкості моторного човна. Отже, швидкість

км

течії річки дорівнює 2-.

год

км

Відповідь: швидкість течії річки становить 2

год

Задача 21.

Велосипедист проїхав 96 км на 1,6 години швидше, ніж передбачав. При цьому за кожну годину він проїжджав на 2 км більше, ніж розраховував проїжджати. З якою швидкістю він їхав?

Розв'язання:

Позначимо   швидкість   велосипедиста   через    хіккмм, тоді

год

швидкість,   з   якою   передбачав   їхати   велосипедист, дорівнює

(х _ 2)іккм-. Відстань 96 км він проїхав за — годин і це швидше, ніж передбачалось,

х

на 1,6 години, тобто:

96 96

= 1,6;

х  2 х

96 96

-1,6 = 0;

- 2)

0;

х- 2 х

96 х - 96(х - 2)- 1,6(х - 2) х(х-2)

96 х - 96 х +192 -1,6 х2 + 3,2 х = 0; -1,6 х2 + 3,2 х +192 = 0; х2 - 2х -120 = 0;

х = -10  або   х = 12. Від'ємне   значення   кореня   не   задовольняє  умову задачі.

ттт ю КМ

Швидкість велосипедиста дорівнює 12-.

год

км

Відповідь: велосипедист їхав з швидкістю 12

год

Задача 22.

З А до В, відстань між якими 350 км, вийшов автобус. Якби він

зменшив швидкість на 5КМ, то в дорозі був би на 12  год довше.

год 3

Скільки годин їде автобус від А до В?

Розв'язання:

Нехай швидкість автобуса дорівнює хКМ, тоді відстань від А до

год

В він проїжджає за-годин. Якщо він зменшить швидкість на 5 км,

х

то його швидкість буде - 5)КМ. Тоді відстань від А до В він пройде

год

350 2

за- годин, і це буде на 1— години довше.

х-5 3

Складемо рівняння:

350   350 _ 2

х   5    х 3 350 _ 350 _ 5 _ 0-

х   5    х 3

3 350х _3 350(х _ 5)_ 5(х _ 5)х _ 0 3х(х _ 5)

1050х _ 1050х + 5250 _ 5х2 + 25х _ 0; _ 5х2 + 25х + 5250 _ 0; х2 _ _ 1050 _ 0;

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі