С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 4

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

х __30  або   х _ 35. Оскільки від'ємне значення кореня не задовольняє умову задачі,

то швидкість автобуса дорівнює 35 км, тоді відстань від А до В він

год

пройде за ^35- _ 10 (годин).

Відповідь: автобус від А до В їде 10 годин.

Задача 23.

Мотоцикліст їхав з одного міста в друге 4 год. Повертаючись назад, він перші 100 км їхав з тією самою швидкістю, а потім

зменшив її на 10км і тому на зворотний шлях витратив на 30 хв

год

більше. Знайдіть відстань між містами.

Розв'язання:

Нехай відстань між містами дорівнює х км. Тоді початкова

х км

швидкість мотоцикліста дорівнює--. Перші 100 км він проїхав за

4 год

1004 400

-_- годин.   Після   цього   йому   залишилось проїхати

х х _ 100)км.

Швидкість його при цьому була   ЛҐЛ км х_40 км

—10 - або

V 4 )

год 4 год

■                 (    100) х _ 40   4(х _ 100) отже, решту шляху він подолав за (х _ 100):-_ —--

_-- годин.

4 х_40

Оскільки на зворотний шлях він витратив на 30 хвилин більше, можемо твердити, що він здолав зворотний шлях за 4,5 години.

(30 хвилин = 0,5 години).

Складемо рівняння:

400 + 4(х _ 100) _ 4 5;

х       х _ 40

400 + 4(х _100) _ 4,5 _ 0;

х х_40

400(х _ 40) + х(4х _ 400) _ 4,5(х _ 40) _ 0-х( х _ 40) '

_ 0,5х2 +180х _ 16000 _ 0;

х2 _360х + 32000 _ 0,

х   200  або   х 160. Обидва корені не задовольняють умову задачі. Отже, відстань між містами дорівнює або 160 км, або 200 км.

Відповідь: відстань між містами становить 160 км або 200 км.

Задача 24.

Рибалка вирушив на човні з пункту А проти течії річки. Пропливши 6 км, він кинув весла, і через 4,5 год після виходу з А течія знову віднесла його до пункту А. Знайдіть швидкість течії річки,

м

якщо швидкість човна в стоячій воді 90—.

хв

Розв'язання:

км

Нехай швидкість течії ріки дорівнює х-, тоді відстань 6 км

год

рибалка проплив до пункту А без весел за 6 годин. Швидкість човна

х

м          км км проти течії (враховуючи, що   90— _ 5,4-) дорівнює (5,4 _ х)-.

хв       год год

Отже, відстань 6 км від пункту А проти течії рибалка проплив за 6   годин. Всього пройшло 4,5 години після його виходу з пункту

5,4 _ х

А. Тоді:

6    6 ле

■ + - = 4,5;

5,4  х х

66

+ -- 4,5 = 0;

5,4       х х

6 х + 6(5,4 - х) - 4,5 х(5,4 - х)

0;

х  =_-_—

х(5,4 - х) 6 х + 32,4 - 6 х - 24,3х + 4,5 х2 = 0; 4,5х2 - 24,3х + 32,4 = 0; В = 590,49 - 583,2 = 7,29; 24,3_± 2,7 9

= 24,3 + 2,7 =      = 24,3 - 2,7 =

х, — — 3;     — — 2,4.

1        9 2 9

Обидва корені задовольняють умову задачі. Отже, швидкість

....              _            . км         _ л км течії ріки могла бути або 3-, або 2,4-. Якщо швидкість ріки

год год

дорівнювала 3 1КМ-, то рибалка плив проти течії -6- = 2,5 години, а за год 2,4

течією його знесло за 6 = 2 години, всього 4,5 годин. Якщо швидкість

течії ріки дорівнювала  2,4 1КкКМ-то рибалка плив  проти течії

год

6 . 6

2години, а за течією його знесло за = 2,5 години,

5,4-2,4 2,4

всього 4,5 годин.

км км Відповідь: швидкість течії річки або 3-, або 2,4-.

год год

Задача 25.

Відстань між пристанями А і В теплохід проходить за течією за 5 год, а проти течії за 6 год. За скільки годин пропливе цю відстань за течією пліт?

Нехай власна швидкість теплохода дорівнює х-, а швидкість

год

км

течії ріки — у-; тоді за течією швидкість теплохода становить

год

км км (х + у)-, а проти течії — (х - у)-. Знайдемо, на скільки швидше

год год

теплохід пройде за течією, ніж проти течії, тобто знайдемо різницю

його швидкостей: (х + у) - (х - у) = х + у - х + у = 2у.

Як бачимо, різниця швидкостей теплохода за течією і проти

течії дорівнює подвоєній швидкості течії ріки. Використаємо це при

розв'язуванні задачі. Позначимо відстань між пристанями А і В через

г , £ км

Ь, тоді швидкість теплохода за течією дорівнює--, а проти течії

5 год

Ь км  _ . .

становитиме--. Пліт пливе зі швидкістю, що дорівнює швидкості

6 год

течії ріки. Нехай він подолає цю відстань за і годин, тоді його

швидкість (а отже, і швидкість течії ріки) дорівнює —. Як було

показано вище, різниця швидкостей теплохода за течією і проти течії дорівнює подвоєній швидкості течії ріки. Отже, можемо записати:

Ь - Ь=2Ь;

5   6 = і '

1 -1 = 2;

5   6 = 7'

1 -1 - 2 = 0;

5   6 і

6і - 5і - 60 = 0;

6і - 5і - 60 = 0;

і - 60 = 0; і = 60. Пліт подолає цю відстань за 60 годин. Відповідь: пліт пропливе відстань за течією за 60 годин.

Задача 26.

Катер пройшов за течією 90 км за певний час. За той самий час він пройшов би проти течії 70 км. Яку відстань за цей час пропливе пліт?

Розв'язання:

Позначимо час через і годин. Тоді швидкість катера за течією

90 км                                            ....        70 км дорівнює--, а швидкість катера проти течії дорівнює--.

1 год і год

км

Нехай швидкість течії ріки дорівнює х-. Відомо, що різниця

год

швидкостей катера за течією і проти течії дорівнює подвоєній швидкості течії ріки. Пліт рухається зі швидкістю, що дорівнює швидкості течії ріки. Запишемо:

90   70 „

---= 2 х;

і і

45 _ 35 = ;

іі

45 _ 35 - хі; хі -10.

Але х • і -це відстань, яку пройде пліт за час і. Отже, пліт за час

1 пройде 10 км.

Відповідь: пліт за час і пройде відстань в 10 км.

Задача 27.

Круговою доріжкою завдовжки 2 км рухаються в одному напрямі два ковзанярі, які сходяться через кожні 20 хв (див. малюнок). Знайдіть швидкість кожного ковзаняра, якщо перший з них пробігає коло на 1 хв швидше, ніж другий.

Розв'язання:

Нехай перший ковзаняр пробігає коло

довжиною 2км за х хвилин, тоді швидкість

_          .            2 км   _   2 60 км його буде дорівнювати--або--.

х хв х год

Другий ковзаняр пробігає коло довжиною

2 км на 1 хвилину швидше, тобто за (х _ і)хв. Отже, його швидкість

2 км   -   2 60 км

дорівнює--або--. За двадцять хвилин другий ковзаняр

х _ 1 хв х годпробігає шлях, більший на одну довжину кола, тобто на 2 км, ніж

перший ковзаняр. Запишемо:

22 — 20 + 2---20;

_1

40   „ 40

+ 2

_1

40 + 2х _ 40_ =

х х _1

(40 + 2 х)( х _ 1) _ 40 х = 0; 40х + 2х2 _ 2х _ 40 _ 40х = 0; 2х2 _ 2х _ 40 = 0; х2 _ х _ 20 = 0; £> = 1 + 80 = 81;

= 1±9

х1.2 =  2 ;

Умову задачі задовольняє тільки додатне значення кореня, тому 1 + 9

х =-= 5. Перший ковзаняр пробігає 2 км за 5 хвилин, отже, його

швидкість дорівнює:  2 60 = 24(км). Другий пробігає 2 км за 4

5 год

2• 60   км Л

хвилини, отже, його швидкість дорівнює:-= 30 -.

4        Vгод )

км

Відповідь: швидкість першого ковзаняра становить 24-, а

год

км

швидкість другого становить 30-.

год

Задача 28.

Туристи мають повернутись на базу не пізніше, як через 3 години. На яку відстань вони можуть відплисти за течією річки на

км

моторному човні, якщо його власна швидкість 18-, а швидкість

год

км

течії річки 4-?

Швидкість   човна   за   течією   дорівнює    18 + 4 = 22

км

V

год )

Швидкість човна проти течії дорівнює  18 _ 4 = 14

км

Нехай

V год )

відстань, на яку можуть відплисти туристи, дорівнює х, тоді час,

х

який вони витратять, пливучи за течією, дорівнює: —(год); а час,

22

х

який вони витратять, повертаючись назад, дорівнює 14 год. Загальний

час не повинен перевищувати 3 години. Отримаємо:

— + £ 3; 22 14

11х + 7х £ 3_

154

18х£ 462;

462

х £-;

18

х £ 252.

3

Відповідь: туристи можуть відплисти на відстань ~25 км.

Задача 29.

При вільному падінні тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а за кожну наступну на 9,8 м більше. Знайдіть глибину шахти, якщо камінець досяг її дна через 8 с після початку падіння.

Розв'язання:

За першу секунду тіло проходить 4,9 м, а за кожну наступну на 9,8 м більше. Час падіння дорівнює 8 с. Отримаємо арифметичну прогресію, в якій: а1 = 4,9 м, а = 9,8 м, п = 8. Знайдемо, скільки метрів тіло пролетить за останню секунду: а8 = 4,9 + 7 • 9,8 = 73,5. Глибина

шахти дорівнюватиме сумі всіх відстаней, які тіло пролетіло за кожну секунду, а це чисельно дорівнює сумі 8 перших членів арифметичної прогресії:

4,9 +73,5 £8 = '       9 • 8 = 313,6 » 314(м).

Відповідь: глибина шахти дорівнює ~ 314 м.

Задача ЗО.

Скільки секунд падала б гайка з висоти 490 м?

Розв'язання:

Із фізики відомо, що при вільному падінні тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а за кожну наступну на 9,8 м більше (при умові, що початкова швидкість дорівнює нулю). Отримаємо арифметичну прогресію, в якій а1 = 4,9м; сі = 9,8м і £п = 490м (оскільки всього

гайка пролетіла 490 м). Нам необхідно знайти, скільки секунд падала гайка, що відповідає числу членів даної арифметичної прогресії п. Нам невідомо, скільки метрів пролетіла б гайка за останню секунду, тобто, нам невідомо, чому дорівнює ап. Тому складаємо систему рівнянь:

а, + а

£ = ---      • п;

п 2

ап = а1 + (п - і)сі;

„™   4,9 + а 490 = —-- - п;

2

ап = 4,9 + (п -1)- 9,8; 490 = 4,9 + 4,9 + (п -1)9,8 - п;

2

9,8п2 =980; п2 =100;

п,,2 =±10.

Від'ємне значення кореня не задовольняє умову задачі, таким чином, п = 10.

Відповідь: з висоти 490 м гайка падала б 10 с.

Задача 31.

Катер за 4 год пройшов 24 км за течією річки і 20 км проти течії. Знайдіть     швидкість   течії, якщо     власна     швидкість катера

км

дорівнює 12-.

год

Розв'язання:

Позначимо швидкість течії через х. Швидкість катера за течією

км

дорівнює   (12 + х)-,   швидкість  катера  проти  течії дорівнює

(12 - х)

км год

24 км за течією катер пройшов за

20

24

годин. 20 км

проти течії катер пройшов за

24

+

12 - х 20

12 + х

годин. Отримаємо рівняння:

12 + х   12 - х

6 5 +

4; -1 = 0;

12 + х   12 - х 6(12 - х) + 5(12 + х) - (144 - х2) = 0;

72 - 6 х + 60 + 5 х -144 + х2 = 0;

х2 - х -12 = 0;

О = 1 + 48 = 49;

1 ±749

х1.2 =

2

5

Від'ємне значення кореня не задовольняє умову задачі. Таким

чином, х

1 + 7 2

4.

Відповідь: швидкість течії річки дорівнює 4 км год

Задача 32.

З порту одночасно вийшли два теплоходи: один на південь, другий на захід. Через дві години відстань між ними становила 60 км.

Знайдіть швидкості теплоходів, якщо різниця цих швидкостей 6 км год

Розв'язання: Нехай

км

х--швидкість

год

першого теплохода, тоді швидкість

км

другого  теплохода —   (х + 6)-.

год

Напрямки руху теплоходів перпендикулярні між собою. За 2 години перший теплохід пройшов відстань 2хкм, а другий — 2( х + 6) км. За теоремою Піфагора запишемо:

4 х2 + 4( х + б)2 = 602;

4 х2 + 4( х 2 +12 х + 36) = 3600;

х2 + х2 +12 х + 36 = 900;

2 х2 +12 х - 864 = 0; х х + 6 х - 432 = 0;

Э = 36 +1728 = 1764;

= - 6 + У1764

х12 =       2 ; від'ємне значення кореня не задовольняє умову задачі, тоді

- 6 + 42   36 _        . .

х =-= = 18.   Швидкість   першого   теплохода дорівнює

22

- 0 км                                                                  _ . км 18-, тоді швидкість другого теплохода дорівнює 24-.

год год

Відповідь: швидкість першого теплохода становить 18км, а

год

км

швидкість другого теплохода становить 24-.

год

Задача 33.

З пункту А  одночасно  і в одному напрямі виїхали два

км км велосипедисти; швидкість першого 24-, а другого 18-. Через

год год годину з А виїхав автомобіль, який наздогнав спочатку другого велосипедиста,  а через  10 хв і першого.  Знайдіть швидкість автомобіля.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі