С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 5

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

Розв'язання:

Нехай швидкість автомобіля дорівнює хКМ. Через час, що

год

дорівнює і годин, він наздогнав першого велосипедиста, пройшовши при цьому відстань хі км. Перший велосипедист на цей час подолав відстань, яка дорівнює (18 + 18і)км. Тоді хі = 18 + 18і.

1

1

Через — години І 10хв = — год  автомобіль наздогнав другого

6

велосипедиста, пройшовши при цьому відстань х

6 у

Ґ 1 л

V 6)

км.

Другий велосипедист за той самий час проїхав відстань, яка

(      (   і ЛЛ (   1 Л        ( іЛ

дорівнює      24 + 24 і + —  км.        Тоді    х і + — = 24 + 24 / +

6 ))

V

6

Складаємо систему рівнянь:

хі = 18 + 18і;

х і + 1

V

ґ

24 + 24 і +

V

18

х = — +18;

і

18

+18 і + = 24 + 24і + 4;

3

18 + - + 18і + 3 = 24 + 24і + 4;

V

6

3 і + 18і - 24і = 7;

3 - 6і2 - 7і = 0; 6і2 + 7і - 3 = 0; В = 49 + 72 = 121;

і1,2

7 + л/121

Від'ємне значення кореня не задовольняє умову задачі, тоді

- 7 +11    4    1 А і =-= — = -. Автомобіль наздогнав першого велосипедиста

12      12 3

через — години. Підставимо це значення і в перше рівняння:

3

1

3 1 3

х = 72.

х = 18 + 6; х = 24;

Відповідь: швидкість автомобіля дорівнює 72 км

Задача 34.

Виміряти питому теплоту плавлення льоду, використовуючи той факт, що швидкість теплообміну води, взятої при 0 °С, і льоду, взятого при 0°С, з повітрям однакова.

Розв'язання:

ь= ^

де Ь - час нагрівання, ь2 - час плавлення льоду, взятого при

0°С.

вх _ ст1 2 - і,), в2 = Ят2,

звідси маємо:

1 _ с(і2 ^1 Ь2

с(і   — і Ь

Відповідь: питома теплота плавлення льоду: 1 _ 21^-2-.

ьі

Задача 35.

Виміряти питому теплоту плавлення льоду, використовуючи рівняння теплового балансу для випадку змішування води і льоду, температура яких різна в різних агрегатних станах.

Розв'язання:

01 _ 02 + @3,

в1 _ ст1 Аі1 - кількість теплоти, необхідна для плавлення льоду; в2 _ 1т2 - кількість теплоти, необхідна для плавлення льоду; в3 _ ст2Аі2 - кількість теплоти, необхідна для нагрівання води, отриманої із льоду;

ст1Аі1 _ 1т2 + ст2 Аі2, .   с(т1 Аі1 — т2 Аі2) т2

Відповідь: питома теплота плавлення льоду рівна:

с(т1 Аі1 — т2 Аі 2)

тЗадача 36.

Міста А,В,С,В, розміщені так, що чотирикутник АВСВ -опуклий, з'єднані прямолінійними доріжками АВ, ВС, СВ, АВ і АС. Їх довжини відповідно рівні 6, 14, 5, 15 і 15 км. Із одного із цих міст одночасно вийшли три туристи, які йшли без зупинок з постійною швидкістю. Маршрути всіх туристів різні, причому кожен з них складається з трьох доріг і проходить через всі міста. Перший і другий туристи перед проходженням третіх доріг своїх маршрутів зустрілися в одному місті, а третій закінчив маршрут на годину раніше туриста, який закінчив маршрут останнім. Знайдіть швидкості туристів, якщо швидкість третього більша швидкості другого і на

1 км . ... --менша швидкості першого, причому швидкості всіх туристів

2 год

км

знаходяться в інтервалі від 5-до 8

км

год год Розв'язання:

Позначимо

км      км км

через и-,и2-,и3-

год     год год

номерам.

^3 >и2,и1

швидкості туристів відповідно їх Тоді

,5 <иу < 8, і = 1,2,3.

1) Зауважимо спочатку, що якщо у якихось туристів співпадають перші два відрізки шляху, то повинні повністю співпадати їх маршрути. За умовою кожен маршрут складається із трьох відрізків і проходить через всі чотири міста. За умовою всі маршрути різні. Значить, можна зробити висновок, що у двох будь-яких туристів шляхи відрізняються уже після проходження перших двох доріг.

2) Якщо туристи вийшли із міста А, то хто-небудь з них повинен йти по діагоналі АС, але тоді він не зможе пройти через всі чотири міста (його маршрут складається тільки з трьох відрізків). Тобто, туристи не могли вийти з міста А. З аналогічних причин не могли вони вийти із міста С. Тобто, туристи вийшли з міста В чи з міста В.

3) За умовою перший і другий туристи зустрілись передпроходженням третіх доріг, тому перший і другий туристи вийшли по різних дорогах і зустрілись в протилежній вершині чотирикутника. Оскільки г1 > г2, то довжина шляху першого

туриста до зустрічі з другим рівна АВ + АВ = 21, а довжина

шляху другого Отримаємо рівняння:

до  тієї  ж  зустрічі  рівна   \БЄ\ + \СВ\ = 19. 21 = 19

4)    Другий відрізок шляху третього туриста співпадає з АС, а довжина всього шляху рівна або

БЄ\ + \СЛ\ +1 ЛВ| = 44,

чи

ЛБ\ + \ ЛЄ\ + СВ = 26.

В першому випадку шлях третього туриста найдовший. Оскільки и1 >и3, то перший турист прийшов раніше третього.

Довжина шляху другого туриста не перевищує 34 км, значить, час

34 44 його руху не більше —, а час третього рівний —. Маємо

44 44

1

1 2

44   44. 19 34

> =->

21 и

В першому випадку третій турист повинен прийти в кінцевий пункт останнім, але це суперечить умові задачі. Тобто, довжина шляху третього туриста рівна не 44 км, а 26 км.

5) Нехай туристи вийшли із міста В. Тоді шлях першого - ВАВС, шлях другого - ВСВА, шлях третього - ВАСВ. Довжини шляхів рівні відповідно 26 км, 34 км, 26 км, а час, затрачений на всю дорогу,

рівний год, — год, — год. Із п.3) випливає, що перший турист

г2 г3

закінчив маршрут раніше, ніж другий 26 34

<

V и1

Використовуючи

2 У

умову, знаходимо 34 26

= 1+—; ии оскільки и3 < 8, то 34 < 8 + 26 ии чи

и3 < и2, що суперечить умові.

Отже, туристи вийшли з міста В, шлях першого - ВЛВС,

другого - ВСВЛ, третього - ВСЛВ. Довжини шляхів рівні відповідно

35 км, 25 км, 26 км, а час на всю дорогу рівний

35   ,25   , 26 год, год,

и2 и3

год.

и

Із п.3) слідує, що останнім прийшов перший турист Отримаємо систему рівнянь:

[35   , 26

= 1 + —, ^35 25Л

и

2 У

и1

и-и =

и3

1

2

звідки 35   , 26 и1

и-

2 19 35

чи   и--и + — = 0.

1    1 2

Корені цього

2

5

рівняння рівні 7 і —. За умовою, швидкості розміщені в проміжку від

2

5 до 8 кілометрів, значить, другий корінь не підходить. Тобто,

и = 7,

и = 6 ,

3    1   2 2

19 19

и = -и. = .

2   21   1 3

Легко перевірити, що знайдені задовольняють всім умовам задачі.

значення швидкостей

Відповідь:   швидкість   першого   туриста становить

1 км

7

км

швидкість другого туриста становить 6

3 год

год

швидкість третього

туриста становить 6

1 км

2 год

Задача 37.

Із пункту А в пункт В доставлена пошта. Спочатку її віз

2   .       . .

мотоцикліст; проїхавши 3 відстані від пункту А до пункту В, передавпошту велосипедисту, який на нього чекав і який доставив її в пункт В (час, який потрібний був на передачу пошти, вважається рівним нулю). При цьому пошта була доставлена із пункту А в пункт В за проміжок часу, необхідний, щоб проїхати від пункту А до пункту В з

км

швидкістю 40-. Відомо, що якби мотоцикліст і велосипедист

год

виїхали із пунктів А і В одночасно назустріч один одному, то вони зустрілися б через проміжок часу, який необхідний для проїзду від

пункту А до пункту В з швидкістю 100км. Знайдіть швидкість

год

мотоцикліста, враховуючи, що вона більша швидкості велосипедиста.

Розв'язання:

Позначимо через £ км відстань між пунктами А і В; нехай хкм

год

км

- швидкість мотоцикліста, а у--швидкість велосипедиста.

год

2 2 £ 1 Нехай — £ км мотоцикліст проїхав за---годин, а шлях - £ км

3 3 х 3

1 £

велосипедист проїхав за---годин. Пошта із А в В була доставлена

3 У

за ґ2 £   1 £Л

---+---

3 х   3 у годин, і цей час за умовою задачі повинен

£

дорівнювати 40 годин. Тому маємо перше рівняння

2 £   1 £ = £

3 ' х   3' у ~ 40.

Якби мотоцикліст і  велосипедист виїхали назустріч один

£

одному, то вони зустрілися б через- годин, і цей час за умовою

х+у

£

задачі повинен дорівнювати юо годин. Тому маємо друге рівняння

££

х + у 100

Для знаходження х і у отримали після ділення правої і лівої частини кожного рівняння на £ (£ Ф 0) систему

'2 11 !_ _ ^_ З ' х + 3' у ~ 40'

1   _ _1_ х + у ~ 100'

Із другого рівняння у _ 100 - X' Підставляючи 100 - х замість у в перше рівняння системи, отримаємо рівняння:

_2_        1      _ £

Зх + 3(100 - х)_ 40'

100   А ■       ™ ■ 200

яке має корені х1 _80,х2 Але тоді у1 _20 і у2

Легко побачити, що знайдені пари чисел

х1 _ 80,

У1 _ 20, 100

х2 _

У2

З '

200

з

є розв'язками системи рівнянь.

Оскільки за умовою задачі швидкість мотоцикліста більша швидкості велосипедиста, то умову задачі задовольняє лише один розв'язок   системи,   тобто:    х1 = 80, у1 = 20.    Отже, швидкість

км

мотоцикліста рівна 80

год

Відповідь: швидкість мотоцикліста становить 80м

год Задача 38.

Із пункту А в пункт В виїхав вантажний автомобіль. Через одну годину із пункту А в пункт В виїхав легковий автомобіль, який прибув в пункт В одночасно з вантажним автомобілем. Якби вантажний і легковий автомобілі одночасно виїхали з пунктів А і В назустріч один одному, то вони б зустрілися через 1 годину 12 хвилин після виїзду. Скільки часу провів у дорозі від А до В вантажний автомобіль?

Позначимо через x

км

год

Розв'язання:

швидкість вантажного автомобіля, а

через £ км - відстань між пунктами А і В. Відстань від А до В вантажний автомобіль проїхав за — годин, а легковий автомобіль

за

x

fs - і]

V x J S

годин.   Тобто,   швидкість   легкового   автомобіля рівна

км

S - і год

Якби автомобілі одночасно виїхали із пунктів А і В

x

назустріч один одному, то із умови, що вони зустрінуться через 1

З

години, отримаємо рівняння:

x +

S

S

-1

xJ _ S.

Оскільки х)0, то, розділивши це рівняння на х, отримаємо рівносильне йому рівняння:

б

З 1 +

S x

S

x

- і

S

x

Позначимо

S

x

через t, приходимо до рівняння 5t2 - lit + б _ O,

яке має корені tl _ З, t2 2 З

Із умови задачі відомо, що вантажний

автомобіль провів в дорозі від А до В більше однієї години, тобто, умову задачу задовольняє тільки /1 _ 3.

Відповідь: вантажний автомобіль провів у дорозі від А до В З

год.

Задача 39.

Від пристані А вниз за течією річки одночасно відпливли теплохід і пліт. Теплохід, допливши до пристані В, яка розміщена в 324 км від пристані А, простояв там 18 годин і відправився назад в А. В той момент, коли він знаходився в 180 км від А, другий теплохід,який відплив із А на 40 годин пізніше першого, наздогнав пліт, який до цього часу встиг пропливти 144 км. Вважаючи, що швидкість течії річки стала, швидкість плоту рівна швидкості течії ріки, а швидкості теплоходів в стоячій воді сталі і рівні між собою, визначте швидкості теплоходів і течії річки.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі