С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 6

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

Розв' язання:

Позначимо швидкості теплоходів через хКМ, а швидкість течії

год

км

річки через у-. Час, який пройшов від моменту відплиття плоту

год

від пристані А до того моменту, коли його наздогнав другий теплохід,

144

рівний -        годин. Другий теплохід до моменту зустрічі з плотом

у

.144 .     . й

знаходився в дорозі- годин (він плив за течією, і, значить, його

х + у

швидкість відносно берегів рівна (х + у)КМ). Із умови задачі відомо,

год

що справджується рівність

144 144

40.

У    х + у

144

За час -       годин перший теплохід встиг пропливти 324 км за

у

течією з швидкістю (х + у)-відносно берегів, простояти в пристані

год

В 18 годин і пропливти 324км - 180км = 144км проти течії річки,

рухаючись відносно берегів з швидкістю (х - у)км. Отже, має місце

год

рівність:

144    324   10 144 +18 +

у    х + у        х - у

144 144

Для знаходження х і у маємо систему рівнянь---= 40 і

У    х + у

144    324 144 5 у2

-=--+18н--. З першого рівняння знаходимо: х = —-—.

ух + у        х - у 18 - 5 у

Підставляючи —-— замість х в друге рівняння, розділимо його 18 - 5 у

обидві частини на 18, отримаємо рівняння:

8 = 18 - 5 у +1 + 4(18 - 5 у),

у       у 5у2 - 9у '

10у2 - 33у + 9 = 0.

3

Це квадратне рівняння має два корені: у1 = —, у2 = 3. Відповідні

3

значення х     рівні:   х1 =      х2 = 15.     Видно,  що  пари чисел

33

х, =-, у =— і  х2 = 15,у2 = 3   є розв'язками системи рівнянь

1   110       10 2

144    144 144    324 144

---= 40, -=--н18 н--. Із умови задачі випливає, що

у    х + у у    х + у        х - у

х > у. Цій нерівності відповідає тільки другий розв'язок системи.

Відповідь: швидкості теплоходів становлять 15 км, швидкість

год

....                   0 км течії річки становить 3-.

год

Задача 40.

Із міста А в місто В виїхав автомобіль. Одночасно з ним із пункту С, який розміщений між А і В, в місто А виїхав другий автомобіль. Перший прибув в В одночасно з прибуттям другого в А. Потім автомобілі одночасно виїхали назустріч один одному, зустрілись в пункті В і одночасно прибули перший в А, другий в В. Кожний автомобіль їхав з своєю постійною швидкістю, але другий зробив зупинку на шляху від С до А, а перший - зупинку тієї ж тривалості на шляху від В до В. Знайдіть відстань між С і В, якщо відомо, що відстань від А до С рівна 270 км, а відстань від С до В рівна 180 км.

Розв'язання:

Позначимо через х км відстань від пункту А до пункту В. Із умови задачі випливає, що відстань між пунктами А і В рівна (270 +180) = 450км, а між пунктами В і В рівна (450 - х)км. Перший автомобіль до зустрічі з другим автомобілем проїхав відстань від пункту А до пункту В, рівну 450 км, а потім відстань від пункту В допункту В, рівну (450 - х)км,    тобто всього (900 - х)км. Другий

автомобіль до зустрічі з першим проїхав шлях від С до А довжиною в

270 км, а також шлях від А до В, довжиною в х км, тобто всього

(270 + х)км. На шляху до пункту В кожен із них зробив зупинку

однієї і тієї ж тривалості. Значить, в русі до пункту В автомобілі

знаходились один і той же час. Тому відношення швидкості першого

автомобіля до швидкості другого автомобіля рівне відношенню

.    -    900 - х пройдених відстаней, тобто-.

270 + х

Після зустрічі автомобілі рухались не зупиняючись. Перший з них пройшов відстань АВ, рівну х км, а другий - відстань ВВ, рівну (450 - х) км. Виїхали з В автомобілі одночасно і в кінцеві пункти

х

прибули одночасно. Тому відношення їх швидкостей рівне:

Оскільки швидкості автомобілів постійні, то:

450900 х

270 + х   450 - х

звідки х = 250. Оскільки відстань від А до С рівна 270 км, а відстань від А до В рівна 250 км, то шукана відстань між В і С рівна 20 км. Відповідь: відстань між С і В становить 20 км.

Задача 41.

В річку впадає притока. Теплохід відходить від пристані А на притоці, йде вниз за течією 80 км до річки, далі по річці вверх проти течії до пристані В, затративши 18 годин на весь шлях від А до В. Потім теплохід повертається назад. Час руху по тому ж шляху від В до А  рівний  15  годинам.  Власна швидкість теплохода, тобто

км

швидкість теплохода в стоячій воді, рівна 18-. Швидкість течії

год

км

річки рівна 3-. Яка відстань від пристані А до пристані В і яка

год

швидкість притоки?

Розв' язання:

Позначимо через швидкість притоки, а через у км -

год

відстань по ріці від місця впадання притоки в ріку до пункту В. На

80

рух вниз по притоці теплохід затратив-годин, а на рух по річці

и +18до пристані В затратив 15 годин. Оскільки на цей шлях теплохід

всього затратив 18 годин, то —80н = 18. На рух назад теплохід

и +18 15

у 80

затратив по річці — годин, а по притоці-годин, що складає 15

21 18

у 80

годин, звідси--1--= 15.

21   18

Із рівності

80  + у = 18

и +18 15

маємо:

ґ

у = 15

18 -

80

V     и +18 у

б         30 9и +122 _.                30 9и +122 . тобто у = 30--. Підставляючи 30--замість у в

и +18 и +18

у 80

рівність — +--= 15, отримаємо рівняння для знаходження V:

21   18-V

10 9и +122 80 ---+-= 15.

7    и +18    +18

Оскільки   за   умовою   задачі   0 < V < 18,   то   це рівняння

рівносильне рівнянню V2 + 64и-132 = 0, яке має два корені: и1 = 2 і

и2 =-66. В проміжок 0 <и< 18 попадає лише один із них, а тому

V = 2. Значить, швидкість притоки 2     . Оскільки відстань між

год

+122

пристанями А і В рівна я = 80 + у, тобто, я = 80 + 30--, то

и +18

підставляючи в цю рівність V = 2, отримаємо, що я = 290км.

Відповідь: відстань від пристані А до пристані В рівна 290 км;

. км

швидкість притоки становить 2-.

год

Задача 42.

Із двох пунктів, відстань між якими рівна 2400 км, назустріч один одному виїжджають одночасно пасажирський і швидкий потяги. Кожен із них йде з постійною швидкістю, і в деякий момент часу вони зустрічаються. Якби два потяги їхали зі швидкістю швидкогопотяга, то їх зустріч відбулася б на три години раніше фактичного моменту зустрічі. Якби два потяги їхали зі швидкістю пасажирського потяга, то їх зустріч відбулася б на п'ять годин пізніше фактичного часу зустрічі. Знайдіть швидкості потягів.

Розв'язання:

Позначимо   швидкості  пасажирського   і  швидкого потягів

км км

відповідно через ип-      і иш-. 1 оді час, який пройшов від моменту

год год

виходу  потягів  із  початкових  пунктів до  їх зустрічі, рівний

2400 Я б ..        . . -годин. Якби два потяги їхали зі швидкістю V , то час руху

V ш

п ш

б   2400 Т .

складав би-годин. Таким чином, отримуємо рівняння:

ш

2400    2400 = 3

V 2и

ш ш

Аналогічно складається друге рівняння:

2400 2400 5.

2и    V

п п ш

Після спрощення отримуємо систему:

V -V 1

V + V )   400'

ш \   п с /

V -V 1

_Ш_п _ _

V (V +v ) 240'

пп

Почленно  розділивши друге рівняння  системи на перше,

V 5 5     _ 5 знаходимо, що —ш = —, чи V =—v. Підставивши -V замість V в

ш п п ш

V 3 3 3

п

друге рівняння системи, отримаємо, що V = 60. Але тоді = 100. Відповідь:   швидкість  пасажирського  потяга  рівна   60 ^

швидкість швидкого потяга 100

год

км

год Задача 43.

Із пункту А в пункт В відправився швидкий потяг. Одночасно назустріч йому із В в А вийшов товарний потяг, який зустрівся 2 .

швидким через 3 години після відправлення. Відстань між пунктами

А і В рівна 80 км, потяги рухались з постійними швидкостями. З якою

3

швидкістю рухався швидкий потяг, якщо 40 км він йшов на -години

8

довше, ніж товарний потяг йшов 5 км?

Розв'язання:

Позначимо швидкості товарного і швидкого потягів відповідно

км       км 2 2

через V V -. Тоді за —години товарний потяг проїде —V км,

год       год 3 3

22

а швидкий ^км. Оскільки через 3 години потяги зустрінуться і так як відстань між пунктами рівна 80 км, то

22

-V +-v = 80

3     т        3 ш

40

Сорок кілометрів швидкий потяг проїде за ї =— години, а

V

5

товарний потяг 5 км пройде за /2 = — години. Оскільки ї )/2 на

V

т

3

-години, то

8

40 - А=3

V    V 8

ш т

Для знаходження швидкостей потягів отримали систему рівнянь

2(V +v ) = 80,

3 \   т ш / 7

40 - А=3

V    V 8

шт

Із першого рівняння цієї системи знаходимо: = 120 -vш. Підставивши 120 -vш замість в друге рівняння системи, отримаємо рівняння:

40 -     5     = 3 V    120-V ~ 8,

ш ш

яке можна переписати у вигляді:

3^ - 720v + 38400 л

_ш_ш_ _

ш \ ш /

Останнє рівняння має корені v<Ш) = 80, v<^) = 160, але тоді із V = 120 -V знаходимо, що = 40, а v(2) =-40. Таким чином, система має два розв'язки: = 80,v(1) = 40 і = 160, Vе4 =-40.

ш т ш т

Оскільки швидкість потяга не може бути від'ємним числом, то умову задачі задовольняє лише  перша пара чисел.  Отже, швидкість

км

швидкого потяга 80-.

год

км

Відповідь: швидкість швидкого потягу становить 80

год

Задача 44.

Вантажівка і автомобіль виїхали одночасно із пункту А і повинні прибути в пункт С. Вантажівка, рухаючись з постійною швидкістю, доїхала до пункту С, проїхавши шлях, рівний 360 км. Автомобіль поїхав по окружній дорозі і спочатку доїхав до пункту В, розміщеного в 120 км від пункту А, рухаючись зі швидкістю, вдвічі більшою швидкості вантажівки. Після пункту В він збільшив свою швидкість

на 40км і проїхав шлях від пункту В до пункту С, рівний 1000 км.

год

Він прибув в пункт С на 1 годину 15 хвилин пізніше вантажівки. Якби автомобіль весь свій шлях від пункту А до пункту С їхав з тією ж швидкістю, що й від пункту В до пункту С, то в пункт С він прибув би на 1 годину пізніше вантажівки. Знайдіть швидкість вантажівки.

Розв'язання:

Позначимо швидкість вантажівки через хкм; тоді швидкість

год

( км \

автомобіля на ділянці АВ рівна 2х -       , а на ділянці ВС рівна

V год )

(2х + 40)км. Автомобіль на шлях між пунктами А і С затратив

год

120 1000

+

V х    2х + 40 у 360

годин, а вантажівка проїхала свій шлях за-годин.

х

Оскільки час руху вантажівки на 4 години менший часу руху автомобіля, то

120   1000   360 5

+---= .

2х   2х + 40    х 4

Якби автомобіль весь свій шлях від пункту А до пункту С їхав зі

км 1120

швидкістю (2х + 40)-, то йому для цього знадобилося б -

год 2 х + 40

годин, що за умовою на одну годину більше часу руху вантажівки. Тому

1120 - 360 = 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі