С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 7

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

+ 40    х ' Для знаходження значення х отримали систему двох рівнянь з одним невідомим:

Г120    1000    360 5

і-+---= ,

2 х   2 х + 40    х 4

1120 360

=1.

2хн 40 х

Для її розв'язання достатньо розв'язати, наприклад, перше рівняння і вибрати із найдених розв'язків числа, які задовольняють друге рівняння. Перше рівняння рівносильне рівнянню:

х2 -140х + 4800 = 0,

яке має корені х1 = 80 і х2 = 60. Підставляючи х1 і х2 в друге рівняння, отримаємо, що його задовольняє лише х2. Тому швидкість

км

вантажівки рівна 60-.

год

км

Відповідь: швидкість вантажівки становить 60

год

Задача 45.

Теплохід відчалив від пристані А, спустився вниз за течією річки на 60 км до гирла річки, яка впадає в притоку і піднявся верх по притоці (проти течії) на 20 км до пристані В. Весь шлях від А до В теплохід пройшов за 7 годин. Швидкість течії річки і швидкість течії

притоки рівна 1км. Знайти власну швидкість теплохода. (Власна

год

швидкість - швидкість в нерухомій воді).

Позначимо через  хкм власну швидкість теплохода. Тоді по

год

км

річці теплохід йшов з швидкістю (х +1)-, а по притоці - з

год

/     ч км                                   . 60 швидкістю (х -1)-. На шлях по річці теплохід затратив-годин,

год х н 1

а на шлях по притоці-годин. Весь шлях він пройшов за 7 годин,

х-1

значить,

60 20

-+-= 7.

хн 1 х-1

Звільняючись в цьому рівнянні від знаменника, отримуємо

23 рівняння 7х -80х + 33 = 0, корені якого х1 = 11 і х2 = 7. Ми бачимо,

що ці корені являються й коренями рівняння: 60 н 20 =7.

що ці корені являються й коренями рівняння:--1--= 7.

хн1 х-1

км

Швидкість теплохода не може бути меншою 1-, оскільки теплохід

год

км

рухався по притоці проти течії, швидкість якої рівна 1-. Тому

год

км

власна швидкість теплохода 11-.

год

Відповідь: власна швидкість теплохода становить Цікм.

год

Задача 46.

Пункт А стоїть в полі на відстані 8 км від дороги. На дорозі, яка являється прямою лінією, стоїть пункт В. Швидкість руху автомобіля по дорозі в два рази більша, ніж по полю. Відомо, що якщо їхати із А по прямій до деякої точки С, яка знаходиться на дорозі, відмінної від В, а потім по дорозі до В, то при довільному виборі точки С на це піде не менше часу, ніж потрібно, якщо їхати із А в В напрямки по полю. д    Чому рівна відстань від А до В1

Розв' язання: Позначимо через а км відстань між пунктами

А і В (зрозуміло, що а > 8), через vKM- - швидкість

год

С Г) 61 мал. 1руху автомобіля по полю і через В - точку на дорозі, найменш віддалену від пункту А (мал.12).

Тоді АВ _І_ ВВ і АВ = 8 км. Очевидно, що якщо точки В і В співпадають, тобто, якщо АВ = 8 км, то умова задачі виконується. Значить, АВ = 8 км є однією із відповідей до задачі. Далі будемо вважати, що точки В і В різні, тобто а)8, і пункт В лежить ліворуч від прямої АВ, якщо дивитися із точки В в поле в напрямку до пункту А.

Два довільних розміщення пункту В на дорозі, симетричні відносно прямої АВ, одночасно чи задовольняють умову задачі чи не задовольняють. Нехай точка С лежить на відрізку ВВ і відмінна від точки В. Позначимо через х км відстань між точками А і С. Тоді 8 £ х{а, і час, за який автомобіль проїде шлях АСВ, рівний:

АС ВС -+

х лі а = +

І а2 - 64 -л/ х2 - 64

и     2и    и 2и За умовою для всіх х із інтервалу 8 £ х(а справедлива нерівність

х лі а +-

64

-64 > а

V

2(х - а) + л/а2 - 64 >л/х2 - 64. Доведемо, що якщо при деякому а (а)8) множина розв'язків

нерівності 2(х - а) + л/а2 - 64 > Vх2 - 64 містить інтервал 8 £ х(а, то пункт В, що знаходиться на дорозі, віддалений від пункту А на відстань а км, задовольняє умову задачі. Нехай АВ = а за сформульованою вище умовою. Якщо точка С лежить на прямій ВВ ліворуч точки В (точка Сх на мал.35), то АС > АВ і значить, рух по

шляху АСВ займає більше часу, ніж по шляху АВ.

Якщо точка С лежить на відрізку ВВ і відмінна від В (мал.13), то для х = АС буде виконуватись нерівність

8 £ х( а    і,    справедлива нерівність

2(х - а) + л/а2 - 64 >л/х2 - 64. Тоді справедлива й нерівність

х лі а +-

64

64 > а

Але це

означає, що рух по шляху АСВ займе не менше часу, ніж по шляху АВ. Якщо точка С лежить на прямій ВВ праворуч від точки В (точка

С2 на мал.35), то \АС\)|АИ\ і \ВС\)|ВИ\. Тобто, рух по шляху АСВ в

цьому випадку займе більше часу, ніж рух по шляху АВ. Отже, сформульоване вище твердження доведено.

Умову задачі задовольняють ті і тільки ті із точок В, відмінні від В,   для   яких   при   а = АВ    множина   розв'язків нерівності

2(х - а     а            х 64 містить інтервал 8 £ х(а. Нехай а -

довільне   фіксоване  число таке,  що   а)8. Знайдемо розв'язки нерівності( 2(х а ) +л[а~7 цій області

2 - 64 >47~

64), які знаходяться в області

8 £ х(а. В цій області нерівність (2(х а) + Vа2 — 64 > Vх2 — 64) рівносильна системі нерівностей:

2(х — а) + л/а2 — 64 > 0,

(2(х а) + л/а2 — 64)2 > х2 64.

Отриману   систему  нерівностей  можна після замінити рівносильною їй системою, яка має вигляд:

перетворень

1

х > а лі а - 64,

- а)(3х - + 4л/а2 - 64) > 0.

Остання система нерівностей на множині 8 £ х(а рівносильна системі:

х > а 1

2 лі а 64,

3х + 4а/а2 64 £ 0, яку можна переписати у вигляді подвійної нерівності:

а

1

5а 4

а2 64 £ х £ - а2 64. 2 3 3

Для шуканих значень а весь інтервал 8 £ х{а повинен міститися

в множині а

1

а2 - 64 £ х £

5а 4

лі а

64. Тобто, шукані значення

2 3 3

параметра а являються розв'язками системи нерівностей:а 2 лі а - 64 £ 8,

^ 5а   4 г-2——

а £---л/а2 - 64,

3 3

а>8.

Ця система після перетворення може бути переписана так:

-16 £л/ а1 - 64,

2л/а2 - 64 £ а, а>8.

На множині а>8 ліва і права частина першої і другої нерівності невід'ємні, тому ця система нерівностей рівносильна системі:

'(2а -16)2 £ а2 - 64, 4(а2 - 64) £

а

а>8

або

[3а2 64а + 320 £ 0, 3а2 256 £ 0, а)8.

Множина розв'язків першої нерівності системи є інтервалом

8 £ а £ —, а множина розв язків другої - інтервал--£ а £ .

Тому множина розв'язків системи, а значить, і множина розв'язків задачі є інтервал 8<а £ . Додаючи сюди знайдене раніше значення а = 8, отримуємо відповідь до задачі.

Відповідь: відстань від А до В рівна 8км £ АВ £ ^= км.

л/3

Задача 47.

Відстань між двома містами швидкий потяг проходить на 4 години швидше товарного і на 1 годину швидше пасажирського.

Відомо, що швидкість товарного потяга складає 5 8 швидкостіпасажирського і на 50 км год менша швидкості швидкого. Знайдіть

швидкості товарного і швидкого потягів.

Розв'язання:

Позначимо швидкість товарного потягу через х км год

Тоді із

умови задачі слідує, що швидкості пасажирського і швидкого потягів

8х км   . /         км    „        . . рівні відповідно--і (х + 50)-. Якщо відстань між містами

5 год год рівна £ км, то час, за який товарний, пасажирський і швидкий потяги

пройдуть цю відстань, рівний відповідно: — годин, — годин,

х

8х 5

х + 50

годин. Із умови задачі випливає справедливість рівностей:

Г £ £

х х+ 50 5£ £

4,

= 1.

8х х+50

Отриману систему рівнянь можна переписати так:

Г   50£ 4

Розділивши почленно отримаємо рівняння:

звідки х = 50.

х( х + 50) £ (250 - 3х) 8 х( х + 50) перше рівняння

= 1.

системи  на друге,

400

250-3х 4,

км

Відповідь: швидкість товарного потяга рівна 50-і швидкого

год

потяга рівна 100 км год

Задача 48.

Автомобіль їхав вгору. В першу секунду після досягнення пункту А він проїхав 30 м, а в кожну наступну секунду він проїжджав на 2 м менше, ніж в попередню. Через 9 с після того, як автомобільдосяг пункту А, назустріч йому виїхав автобус із пункту В, який знаходиться на відстані 258 м від пункту А. В першу секунду автобус проїхав 2 м, а в кожну наступну секунду він проїжджав на 1 м більше, ніж в попередню. Яку відстань проїхав автобус до зустрічі з автомобілем?

Розв'язання:

Знайдемо шлях, пройдений автомобілем за 9 с. Оскільки в першу секунду після досягнення пункту А автомобіль проїхав 30м, а в кожну наступну секунду він проїжджав на 2 м менше, ніж в попередню, то відстані, пройдені ним в кожну секунду, складають арифметичну прогресію, перший член а1 якої рівний 30, а різниця сі рівна (-2). Так, як шлях, пройдений автомобілем за 9-ту секунду, рівний  а9 = а1 + і(9 -1) = 30 + (-2) 8 = 14(м),   то  шлях, пройдений

а + а       30 +14

автомобілем за 9 с, рівний —-9 9 =--9 = 198( м). Тому в той

22

момент, коли автобус виїхав з пункту В, відстань між ним і автомобілем була рівною 258 -198 = 60). За першу секунду після виїзду автобуса автомобіль проїде 12 м, а автобус 2 м. Отже, вони зблизяться на 14 м, тобто, їм залишиться проїхати 60 -14 = 46( м). За

другу секунду вони проїдуть (12 - 2)+(2 +1) = 13( м), і їм залишиться проїхати 46 -13=33(м). За четверту секунду вони проїдуть (8 - 2)+ (4 +1) = 11( м), і їм залишиться проїхати 10 м. За п'яту секунду автомобіль проїде 6 - 2 = 4(м), а автобус проїде 5 +1 = 6(м). Тобто автобус і автомобіль зустрінуться через 5 с після виїзду автобуса із пункту В. За цей час автобус проїде шлях, рівний 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20( м).

Відповідь: автобус до зустрічі із автомобілем проїхав відстань рівну 20 м.

Задача 49.

Згідно розкладу катер проходить рікою, швидкість течії якої

5-, шлях із А в и довжиною 15км за 1 годину. При цьому,

год

виходячи з пункту А о 12 годині, він прибуває в пункти В і С, які знаходяться на відстані 11 км і 13 км від А, о 12 годині 20 хвилин і о 12 годині 40 хвилин. Відомо, що якби катер рухався із А в В без зупинок з постійною швидкістю и (відносно води), то сума абсолютних величин відхилень від розкладу прибуття в пункти В, С,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі